AdSense Ads

Tuesday, February 03, 2009

Teori Peluang: Peluang Suatu Kejadian

Peluang Suatu Kejadian


Untuk percobaan pelemparan mata dadu, didapat ruang sampel Seperti yang telah dipaparkan pada awal Bab 1. Kita dapat beranggapan bahwa setiap mata dadu mempunyai peluang kemunculan yang sama. Sehingga peluang setiap mata dadu adalah . Jika peluang mata dadu 1 dinotasikan dengan P(1), maka . Secara sama, .

Dalam sebuah percobaan, semua kejadian sederhana dalam ruang sampel dianggap mempunyai peluang (kemungkinan) sama untuk muncul (equally likely). Ruang sampel yang demikian dinamakan ruang sampel berpeluang sama.

Jika merupakan ruang sampel berpeluang sama dengan N titik sampel, maka peluang dari kejadian sederhana dinotasikan dengan dan didefinisikan sebagai


Selanjutnya untuk kejadian dengan k ≤ N, peluang suatu kejadian
A adalah jumlah semua peluang titik sampel dalam A, atau dituliskan sebagai

(1)

Atau

(2)

Dengan |A| adalah banyaknya titik sampel / elemen di A, dan |S| adalah banyaknya titik sampel di S. Nilai dari P(A) berkisar mulai dari 0 hingga 1, atau .

Jika P(A) = 0 maka kejadian A tidak mungkin terjadi. Sedangkan jika P(A) = 1 maka kejadian A pasti terjadi.


Contoh 1:

Misalkan kita melakukan percobaan pelemparan satu mata dadu.

1. Jika A adalah kejadian muncul sisi bertanda 2, maka tentukan peluang dari kejadian A.
2. Jika B adalah kejadian muncul sisi bertanda genap, maka tentukan peluang dari kejadian B.

Penyelesaian:

Dalam percobaan pelemparan mata dadu, ruang sampelnya adalah

1. Muncul satu sisi (bertanda apa saja) dalam percobaan pelemparan dadu merupakan kejadian sederhana. Diasumsikan bahwa dadu mempunyai enam sisi yang serupa, setiap kejadian sederhana A mempunyai peluang sama, yaitu . Atau


2. Kejadian atau B mempunyai tiga anggota, sehingga peluangnya adalah



Contoh 2:

Misal dalam suatu tas Farhan berisi 6 pensil dan 3 pulpen. Kemudian Farhan mengambil satu objek (bisa pensil atau pulpen) secara acak (tanpa memilih).

1. Tentukan peluang mengambil pensil
2. Tentukan peluang mengambil pulpen

Penyelesaian :

Ruang sampel dari pengambilan satu objek adalah

S = {P, P, P, P, P, P, L, L, L}, anggota S adalah 9.

Dengan P menyatakan objek pensil yang terambil dan L menyatakan objek pulpen yang terambil.

1. Misal A merupakan kejadian mengambil pensil, banyaknya anggota A adalah 6, jadi peluang kejadian A adalah


2. Misal B merupakan kejadian mengambil pulpen, banyaknya anggota B adalah 3, jadi peluang kejadian B adalah



Contoh 3:

Irfan mempunyai 6 bola putih dan 3 bola merah. Kemudian Irfan mengambil dua bola secara acak (tanpa memilih).

1. Tentukan peluang mengambil semuanya bola putih.
2. Tentukan peluang mengambil semuanya bola merah.
3. Tentukan peluang mengambil satu bola merah dan satu bola putih.


Penyelesaian :

Dua bola yang terambil tidak diperhatikan urutannya. Oleh karena itu, permasalahan ini termasuk permasalahan kombinasi.

Ruang sampel S adalah himpulan cara Irfan mengambil 2 bola dari 9 bola. Banyaknya anggota S (banyaknya titik sampel di S) adalah



1. Misal A merupakan kejadian Irfan mengambil dua bola putih. Banyaknya anggota A adalah



Jadi peluang dari Irfan mengambil dua bola putih adalah



1. Misal B merupakan kejadian Irfan mengambil dua bola merah. Banyaknya anggota B adalah



Jadi peluang dari Irfan mengambil dua bola merah adalah



1. Kejadian mengambil satu bola putih dan satu bola merah dianggap sama dengan kejadian mengambil satu bola merah dan satu bola putih. Misal C merupakan kejadian Irfan mengambil satu bola putih dan satu bola merah. Banyaknya anggota C adalah banyaknya kejadian Irfan mengambil satu bola putih dikalikan banyaknya Irfan mengambil satu bola putih. Ingat kembali kaidah perkalian pada subbab 1.2.1. Jadi banyaknya anggota C adalah



Jadi peluang dari Irfan mengambil satu bola putih dan satu bola merah adalah



Peluang Komplemen Suatu Kejadian

Misal dipunyai ruang sampel S, kejadian A bagian dari S, dan adalah komplemen dari A. Lihat Gambar 1.


Gambar 1 Ruang Sampel S dan Kejadian A.


Jika A dan dua kejadian yang satu merupakan komplemen lainnya, maka

(3)

Untuk memperjelas rumusan diatas, kita lihat contoh berikut.

Contoh 4:

Tentukan peluang mengambil satu kartu dari kartu brigde standard memperoleh bukan As.

Penyelesaian :

Misal A merupakan kejadian mengambil satu kartu dan memperoleh kartus As. Peluang memperoleh satu kartu As adalah , karena banyaknya titik sampel di A ada 4 dan banyaknya kartu ada 52.

Dengan demikian peluang mengambil satu kartu dan memperoleh bukan As adalah



Peluang Gabungan Dua Kejadian

Misal dipunyai ruang sampel S, kejadian A dan kejadian B bagian dari S. Lihat Gambar 1.4.2.


Gambar 2 Kejadian A dan B bagian dari Ruang Sampel S.


Jika A dan B adalah dua kejadian bagian dari S, maka peluang kejadian adalah

(4)

Untuk memperjelas rumusan diatas, kita lihat contoh berikut.


Contoh 5:

Pada percobaan pelemparan dua buah dadu setimbang. Kejadian A adalah kejadian jumlah mata dadu yang muncul adalah 8. Kejadian B adalah kejadian mata dadu kedua yang muncul adalah 5. Tentukan peluang kejadian jumlah mata dadu yang muncul sama dengan 8 atau mata dadu kedua yang muncul adalah 5.

Penyelesaian :

Pada pelemparan dua buah dadu setimbang, banyaknya ruang sample adalah |S| = 36. Misal pasangan angka mata dadu pertama dan angka mata dadu kedua dinyatakan sebagai (x, y). Ruang sampel S adalah


* Untuk kejadian A:
o A = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}
o Peluang kejadian A adalah


* Untuk kejadian B:
o B = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)}
o Peluang kejadian B adalah


* Interseksi kejadian A dan B:
o
o Peluang interseksi kejadian A dan B adalah


Jadi peluang kejadian jumlah mata dadu yang muncul sama dengan 8 atau mata dadu kedua yang muncul 5 adalah



Peluang Gabungan Dua Kejadian Saling Lepas

Misal dipunyai ruang sampel S, kejadian A dan kejadian B saling lepas merupakan bagian dari S. Lihat Gambar 3.


Gambar 3 Kejadian A dan B Saling Lepas.


Kejadian A dan B adalah dua kejadian bagian dari S yang saling lepas. Atau,

Jika kita subsitusikan ke persamaan (4) maka didapat peluang kejadian seperti persamaan (5).

(5)

Untuk memperjelas rumusan diatas, kita lihat contoh berikut.


Contoh 6:

Pada percobaan pelemparan dua buah dadu setimbang. Kejadian A adalah kejadian jumlah angka mata dadu pertama dan kedua yang muncul adalah 3. Kejadian B adalah kejadian jumlah angka mata dadu pertama dan kedua yang muncul adalah 8. Tentukan peluang kejadian jumlah angka mata dadu pertma dan kedua yang muncul adalah sama dengan 3 atau 8.

Penyelesaian :

Pada pelemparan dua buah dadu setimbang, banyaknya ruang sample adalah |S| = 36.

* Untuk kejadian A:
o A = {(1, 2), (2, 1)}
o Peluang kejadian A adalah


* Untuk kejadian B:
o B = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) }
o Peluang kejadian B adalah


* Interseksi kejadian A dan B:
o , kejadian A dan B saling lepas.

Jadi peluang kejadian jumlah mata dadu yang muncul sama dengan 3 atau 8 adalah


Peluang Bersyarat Dan Kejadian Saling Bebas

Sebelumnya kita membahas peluang bersyarat ini, terlebih dahulu kita lihat suatu kasus permasalahan peluang. Peluang dari kejadian orang mengidap penyakit paru-paru adalah kecil. Akan tetapi, jika kita berikan syarat bahwa orang yang perokok berat, maka peluang kejadian orang tersebut mengidap penyakit paru-paru menjadi lebih besar. Peluang dengan ada suatu syarat seperti yang digambarkan di atas dinamakan peluang bersyarat.

Sebelum menuju pada suatu rumusan peluang bersyarat, kita lihat contoh berikut ini.


Contoh 7:

Perhatikan percobaan pelemparan dadu. Ruang sampel dari percobaan pelemparan dadu adalah


Mari kita lihat beberapa kejadian yang terkait dengan pelemparan dau ini.

* Misal A merupakan kejadian angka mata dadu yang muncul adalah ganjil, diperoleh:
o
o Peluang A adalah

* Misal B merupakan kejadian angka mata dadu yang muncul adalah lebih besar dari 2, diperoleh:
o
o Peluang B adalah

* Selanjutnya, kita ingin menghitung peluang munculnya angka mata dadu ganjil dengan syarat angka yang muncul adalah lebih besar dari 2.
o Angka mata dadu ganjil dan lebih besar dari 2, pasti merupakan titik sampel yang ada di B. Jika kejadian B ini kita anggap sebagai ruang sampel (bukan lagi S), maka ruang sampel yang demikian ini dinamakan ruang sampel tereduksi.
o Suatu kejadian munculnya angka mata dadu ganjil dan lebih besar dari 2 adalah dan peluangnya .
o Muncul dua dari empat titik sampel di ruang sampel tereduksi B. Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa adalah peluang bersyarat munculnya angka mata dadu ganjil jika diketahui angka mata dadu yang muncul lebih besar dari 2. Atau dikatakan sebagai peluang kejadian A dengan syarat kejadian B, dan diberi notasi . Lihat Gambar 4.


Gambar 4 Ruang Sampel Tereduksi


Hasil pengamatan di atas, akan membawa kita pada definisi peluang bersyarat berikut ini.



Definisi 1

Misal kejadian A dan B bagian dari ruang sampel S. Peluang kejadian A dengan syarat B dinotasikan dengan dan didefinisikan sebagai


Dengan .


Dari definisi di atas juga dapat diturunkan bentuk rumusan sebagai berikut.




Atau

(6)

Persamaan (6) ini dinamakan aturan hasil kali.

Jika merupakan komplemen dari A, maka peluang kejadian dengan syarat B adalah

(7)


Dua kejadian dikatakan saling bebas jika dua kejadian tersebut tidak saling mempengaruhi. Jadi kejadian A dan kejadian B dikatakan saling bebas jika diberikan syarat kejadian B, maka tidak mempengaruhi kejadian A atau sebaliknya. Dengan kata lain P(A|B) = P(A) atau P(B|A) = P(B) . Jika dimasukkan ke dalam persamaan (1.4.6), maka diperoleh

(8)

Jika berlaku , maka kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian saling bebas.


Contoh 8

Sebuah kaleng berisi 2 bola merah dan 2 bola biru. Dilakukan pengambilan 2 bola secara berurutan, tanpa pengembalian. Tentukan peluang terpilihnya bola merah pada pengambilan yang kedua, jika diketahui bola pertama yang terambil adalah biru.

Penyelesaian:

Misal A kejadian terpilihnya bola merah pada pengambilan kedua. Kejadian B adalah kejadian terpilihnya bola biru pada pengambilan pertama.


Gambar 5 Pengambilan Dua Bola Berurutan

Untuk mempermudah, kita beri nama bola merah dengan m1 dan m2. Bola biru kita beri nama b1
dan b2.

* Kejadian terpilihnya bola pertama biru, kejadian B.
o Anggaplah B sebagai ruang sampel tereduksi.
o
o

* Kejadian terpilihnya bola kedua merah dalam ruang sampel tereduksi B adalah kejadian .
o
o Peluang terpilihnya bola merah pada pengambilan kedua, jika pengambilan bola pertama terpilih putih adalah



Contoh 9

Manajemen suatu kompleks pertokoan telepon genggam mencatat bahwa 60% pembeli adalah wanita dan sisanya adalah pembeli pria. Sebanyak 80% pembeli wanita membayar dengan cara angsuran. Pembeli pria yang membayar dengan cara angsuran hanya 20%.

Jika seorang pembeli dipilih secara acak, maka tentukan peluang terpilihnya:

1. Seorang wanita yang membeli telepon genggam dengan cara angsuran.
2. Seorang pria yang membeli telepon genggam dengan cara angsuran.

Penyelesaian:

Ruang sampel S adalah pembelian telepon genggam di pertokoan.

Misal: - Kejadian W adalah kejadian wanita membeli telepon genggam, P(W) = 0,6.

- Kejadian L adalah kejadian pria membeli telepon genggam, P(L) = 0,4.

- Kejadian A adalah kejadian seorang membeli telepon genggam dengan cara angsuran.

P(A|W) = 0,8 dan P(A|L) = 0,2.

Berdasarkan aturan hasil kali, diperoleh:

1. Peluang terpilihnya seorang wanita membeli telepon genggam dengan cara angsuran adalah


2. Peluang terpilihnya seorang pria membeli telepon genggam dengan cara angsuran adalah




Untuk memahami dua kejadian saling bebas, perhatikan contoh berikut ini.


Contoh 10:

Sebuah uang logam dan sebuah dadu dilemparkan bersama-sama. Berapa peluang munculnya sisi angka pada uang logam dan peluang munculnya angka pada mata dadu adalah ganjil ?.

Penyelesaian :

Ruang sampel dari percobaan ini adalah



Dengan titik sampel (x, y) adalah

* pelemparan uang logam muncul x, nilai dapat a (angka) atau g (gambar)
* pelemparan dadu muncul angka y, nilai y dapat 1, 2, 3, 4, 5, atau 6.


Peluang masing – masing kejadian adalah

* Kejadian A adalah kejadian munculnya sisi angka pada uang logam
o
o .

* Kejadian B adalah kejadian munculnya angka pada mata dadu adalah ganjil.
o
o .

* Kejadian merupakan kejadian munculnya sisi angka pada uang logam dan angka ganjil pada mata dadu.
o
o
Terlihat bahwa berlaku


Oleh karena itu, dikatakan bahwa kejadian A dan B saling bebas.


Frekuensi Harapan Suatu Kejadian


Perhatikan kasus berikut ini : Sebuah dadu dilempar sebanyak 12 kali Tentukan berapa kali kemungkinan muncul mata dadu 2 ?.

Untuk menjawab permasalahan diatas, kita dapat melakukan kegiatan dengan cara sebuah dadu kita lempar 12 kali, kemudian kita catat banyaknya mata dadu 2 yang muncul. Kita ulang lagi dengan melempar dadu sebanyak 12 kali dan kita catat banyaknya mata dadu 2 yang muncul. Kegiatan tersebut kita lakukan beberapa kali. Dari hasil catatan akan terlihat banyaknya muncul mata dadu 2, misal 2 kali.

Peluang munculnya mata dadu 2 pada pelemparan sebuah dadu adalah . Jika dadu dilempar sebanyak 12 kali, maka diharapkan mendapatkan mata dadu 2 sebanyak kali = 2 kali. Harapan munculnya mata dadu 2 sebanyak 2 kali tersebut dinamakan frekuensi harapan.


Frekuensi harapan munculnya kejadian A dengan n kali percobaan adalah



Contoh 11:


Sebuah uang logam dilempar sebanyak 40 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya sisi gambar pada uang logam tersebut.

Penyelesaian :

Misal A merupakan kejadian munculnya sisi gambar, .

Peluang kejadian A adalah .

Jadi frekuensi harapan munculnya sisi gambar pada uang logam adalah kali.







SOAL LATIHAN


Kerjakan soal-soal latihan dibawah ini.

1. Sebuah dadu dilemparkan. Tentukan peluang

a. Muncul mata dadu 4.

b Muncul mata dadu genap.

c. Muncul mata dadu ganjil.

d. Muncul mata dadu genap atau ganjil.

1. Sebuah dadu dan sebuah uang logam dilempar bersama-sama.Tentukan peluang

a. Muncul mata uang angka dan angka dadu 3.

b. Muncul mata uang gambar dan angka dadu genap.

c. Muncul angka dadu ganjil.

d. Muncul mata uang angka dan angka dadu lebih dari 2.

2. Dari satu kantong terdiri dari 6 bola merah, 4 bola hitam dan 3 bola hijau diambil satu bola. Tentukan peluang bola yang terambil berwarna

1. Merah atau hitam.
2. Merah atau hitam atau hijau.
3. Bukan hitam.
4. Bukan hitam atau bukan merah.

3. Jika sebuah huruf diambil dari kata " MATEMATIKA ".Tentukan peluang yang terambil

a. Huruf M

b. Huruf vocal

c. Huruf konsonan

d Bukan huruf vocal

1. Satu kelompok terdiri dari 12 putera dan 4 puteri. Jika tiga orang diambil dari kelompok tersebut, berapa peluang bahwa ketiganya adalah putera.

5. Farhan mempunyai bola 8 bola merah dan 10 bola biru. Kemudian Farhan mengambil dua bola secara acak. Tentukan peluang bola yang terambil

a. Semuanya merah

b. Semuanya biru

c. Satu bola merah dan satu bola biru

6. Budi mempunyai bola 8 bola merah, 10 bola biru dan 6 bola putih .Kemudian Budi mengambil tiga bola secara acak. Tentukan peluang yang terambil

a. Tiga bola tersebut berwarna sama

b. Dua bola merah dan 1 bola putih

c. Satu bola merah dan 2 bola biru

d. Paling sedikit 1 bola putih

e. Tiga bola tersebut berlainan warna

7. Dua buah dadu dilempar bersama – sama.Tentukan peluang munculnya

a. Jumlah mata dadu 5 atau 10

b. Jumlah mata dadu 10 atau mata dadu pertama adalah 6

a. Mata dadu pertama ganjil atau mata dadu kedua genap

8. Pada permainan bridge, 4 pemain masing-masing memegang 13 kartu dari 52 kartu yang ada. Tentukan peluang seorang pemain tertentu kartunya terdiri dari 7 diamond, 2 club, 3 heart dan 1 spade.

9. Tiga buah dadu dilempar bersama – sama. Tentukan peluang munculnya

a. Jumlah mata dadu 12

b. Jumlah mata dadu 10 atau 15

10. Tentukan peluang bahwa sebuah bilangan puluhan adalah kelipatan 3

11. Peluang tim sepak bola SMK " Nusantara " untuk memenangkan suatu pertandingan sepak bola adalah 0,6. Jika tim tersebut akan bermain dalam 50 kali pertandingan, Berapa kali tim sepakbola tersebut akan menang ?

12. Peluang tim basket SMK " Tunas Harapan " untuk memenangkan suatu pertandingan basket adalah 0,8. Jika tim tersebut akan bermain dalam 30 kali pertandingan, Berapa kali tim basket tersebut akan kalah ?

13. Dua buah dadu dilempar bersama - sama sebanyak 288 kali. Tentukan frekuensi harapan

a. Munculnya jumlah mata dadu 10.

b. Munculnya jumlah mata dadu 5 atau 12.

c. Munculnya mata dadu pertama 3 dan mata dadu kedua genap.

d. Munculnya jumlah mata dadu selain 8.

3 comments:

  1. Perbedaannya peluang saling bebas dan peluang saling lepas apa yah ???

    ini tugas yg disuruh cari sama guru aku ,,,
    tolong reply di blogku :

    http://hex-v.blogspot.com/

    Terima kasih :)

    ReplyDelete
  2. thanks atas ilmux

    ReplyDelete