AdSense Ads

Tuesday, February 03, 2009

Teori Peluang: Peluang Suatu Kejadian

Peluang Suatu Kejadian


Untuk percobaan pelemparan mata dadu, didapat ruang sampel Seperti yang telah dipaparkan pada awal Bab 1. Kita dapat beranggapan bahwa setiap mata dadu mempunyai peluang kemunculan yang sama. Sehingga peluang setiap mata dadu adalah . Jika peluang mata dadu 1 dinotasikan dengan P(1), maka . Secara sama, .

Dalam sebuah percobaan, semua kejadian sederhana dalam ruang sampel dianggap mempunyai peluang (kemungkinan) sama untuk muncul (equally likely). Ruang sampel yang demikian dinamakan ruang sampel berpeluang sama.

Jika merupakan ruang sampel berpeluang sama dengan N titik sampel, maka peluang dari kejadian sederhana dinotasikan dengan dan didefinisikan sebagai


Selanjutnya untuk kejadian dengan k ≤ N, peluang suatu kejadian
A adalah jumlah semua peluang titik sampel dalam A, atau dituliskan sebagai

(1)

Atau

(2)

Dengan |A| adalah banyaknya titik sampel / elemen di A, dan |S| adalah banyaknya titik sampel di S. Nilai dari P(A) berkisar mulai dari 0 hingga 1, atau .

Jika P(A) = 0 maka kejadian A tidak mungkin terjadi. Sedangkan jika P(A) = 1 maka kejadian A pasti terjadi.


Contoh 1:

Misalkan kita melakukan percobaan pelemparan satu mata dadu.

1. Jika A adalah kejadian muncul sisi bertanda 2, maka tentukan peluang dari kejadian A.
2. Jika B adalah kejadian muncul sisi bertanda genap, maka tentukan peluang dari kejadian B.

Penyelesaian:

Dalam percobaan pelemparan mata dadu, ruang sampelnya adalah

1. Muncul satu sisi (bertanda apa saja) dalam percobaan pelemparan dadu merupakan kejadian sederhana. Diasumsikan bahwa dadu mempunyai enam sisi yang serupa, setiap kejadian sederhana A mempunyai peluang sama, yaitu . Atau


2. Kejadian atau B mempunyai tiga anggota, sehingga peluangnya adalah



Contoh 2:

Misal dalam suatu tas Farhan berisi 6 pensil dan 3 pulpen. Kemudian Farhan mengambil satu objek (bisa pensil atau pulpen) secara acak (tanpa memilih).

1. Tentukan peluang mengambil pensil
2. Tentukan peluang mengambil pulpen

Penyelesaian :

Ruang sampel dari pengambilan satu objek adalah

S = {P, P, P, P, P, P, L, L, L}, anggota S adalah 9.

Dengan P menyatakan objek pensil yang terambil dan L menyatakan objek pulpen yang terambil.

1. Misal A merupakan kejadian mengambil pensil, banyaknya anggota A adalah 6, jadi peluang kejadian A adalah


2. Misal B merupakan kejadian mengambil pulpen, banyaknya anggota B adalah 3, jadi peluang kejadian B adalah



Contoh 3:

Irfan mempunyai 6 bola putih dan 3 bola merah. Kemudian Irfan mengambil dua bola secara acak (tanpa memilih).

1. Tentukan peluang mengambil semuanya bola putih.
2. Tentukan peluang mengambil semuanya bola merah.
3. Tentukan peluang mengambil satu bola merah dan satu bola putih.


Penyelesaian :

Dua bola yang terambil tidak diperhatikan urutannya. Oleh karena itu, permasalahan ini termasuk permasalahan kombinasi.

Ruang sampel S adalah himpulan cara Irfan mengambil 2 bola dari 9 bola. Banyaknya anggota S (banyaknya titik sampel di S) adalah



1. Misal A merupakan kejadian Irfan mengambil dua bola putih. Banyaknya anggota A adalah



Jadi peluang dari Irfan mengambil dua bola putih adalah



1. Misal B merupakan kejadian Irfan mengambil dua bola merah. Banyaknya anggota B adalah



Jadi peluang dari Irfan mengambil dua bola merah adalah



1. Kejadian mengambil satu bola putih dan satu bola merah dianggap sama dengan kejadian mengambil satu bola merah dan satu bola putih. Misal C merupakan kejadian Irfan mengambil satu bola putih dan satu bola merah. Banyaknya anggota C adalah banyaknya kejadian Irfan mengambil satu bola putih dikalikan banyaknya Irfan mengambil satu bola putih. Ingat kembali kaidah perkalian pada subbab 1.2.1. Jadi banyaknya anggota C adalah



Jadi peluang dari Irfan mengambil satu bola putih dan satu bola merah adalah



Peluang Komplemen Suatu Kejadian

Misal dipunyai ruang sampel S, kejadian A bagian dari S, dan adalah komplemen dari A. Lihat Gambar 1.


Gambar 1 Ruang Sampel S dan Kejadian A.


Jika A dan dua kejadian yang satu merupakan komplemen lainnya, maka

(3)

Untuk memperjelas rumusan diatas, kita lihat contoh berikut.

Contoh 4:

Tentukan peluang mengambil satu kartu dari kartu brigde standard memperoleh bukan As.

Penyelesaian :

Misal A merupakan kejadian mengambil satu kartu dan memperoleh kartus As. Peluang memperoleh satu kartu As adalah , karena banyaknya titik sampel di A ada 4 dan banyaknya kartu ada 52.

Dengan demikian peluang mengambil satu kartu dan memperoleh bukan As adalah



Peluang Gabungan Dua Kejadian

Misal dipunyai ruang sampel S, kejadian A dan kejadian B bagian dari S. Lihat Gambar 1.4.2.


Gambar 2 Kejadian A dan B bagian dari Ruang Sampel S.


Jika A dan B adalah dua kejadian bagian dari S, maka peluang kejadian adalah

(4)

Untuk memperjelas rumusan diatas, kita lihat contoh berikut.


Contoh 5:

Pada percobaan pelemparan dua buah dadu setimbang. Kejadian A adalah kejadian jumlah mata dadu yang muncul adalah 8. Kejadian B adalah kejadian mata dadu kedua yang muncul adalah 5. Tentukan peluang kejadian jumlah mata dadu yang muncul sama dengan 8 atau mata dadu kedua yang muncul adalah 5.

Penyelesaian :

Pada pelemparan dua buah dadu setimbang, banyaknya ruang sample adalah |S| = 36. Misal pasangan angka mata dadu pertama dan angka mata dadu kedua dinyatakan sebagai (x, y). Ruang sampel S adalah


* Untuk kejadian A:
o A = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}
o Peluang kejadian A adalah


* Untuk kejadian B:
o B = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)}
o Peluang kejadian B adalah


* Interseksi kejadian A dan B:
o
o Peluang interseksi kejadian A dan B adalah


Jadi peluang kejadian jumlah mata dadu yang muncul sama dengan 8 atau mata dadu kedua yang muncul 5 adalah



Peluang Gabungan Dua Kejadian Saling Lepas

Misal dipunyai ruang sampel S, kejadian A dan kejadian B saling lepas merupakan bagian dari S. Lihat Gambar 3.


Gambar 3 Kejadian A dan B Saling Lepas.


Kejadian A dan B adalah dua kejadian bagian dari S yang saling lepas. Atau,

Jika kita subsitusikan ke persamaan (4) maka didapat peluang kejadian seperti persamaan (5).

(5)

Untuk memperjelas rumusan diatas, kita lihat contoh berikut.


Contoh 6:

Pada percobaan pelemparan dua buah dadu setimbang. Kejadian A adalah kejadian jumlah angka mata dadu pertama dan kedua yang muncul adalah 3. Kejadian B adalah kejadian jumlah angka mata dadu pertama dan kedua yang muncul adalah 8. Tentukan peluang kejadian jumlah angka mata dadu pertma dan kedua yang muncul adalah sama dengan 3 atau 8.

Penyelesaian :

Pada pelemparan dua buah dadu setimbang, banyaknya ruang sample adalah |S| = 36.

* Untuk kejadian A:
o A = {(1, 2), (2, 1)}
o Peluang kejadian A adalah


* Untuk kejadian B:
o B = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) }
o Peluang kejadian B adalah


* Interseksi kejadian A dan B:
o , kejadian A dan B saling lepas.

Jadi peluang kejadian jumlah mata dadu yang muncul sama dengan 3 atau 8 adalah


Peluang Bersyarat Dan Kejadian Saling Bebas

Sebelumnya kita membahas peluang bersyarat ini, terlebih dahulu kita lihat suatu kasus permasalahan peluang. Peluang dari kejadian orang mengidap penyakit paru-paru adalah kecil. Akan tetapi, jika kita berikan syarat bahwa orang yang perokok berat, maka peluang kejadian orang tersebut mengidap penyakit paru-paru menjadi lebih besar. Peluang dengan ada suatu syarat seperti yang digambarkan di atas dinamakan peluang bersyarat.

Sebelum menuju pada suatu rumusan peluang bersyarat, kita lihat contoh berikut ini.


Contoh 7:

Perhatikan percobaan pelemparan dadu. Ruang sampel dari percobaan pelemparan dadu adalah


Mari kita lihat beberapa kejadian yang terkait dengan pelemparan dau ini.

* Misal A merupakan kejadian angka mata dadu yang muncul adalah ganjil, diperoleh:
o
o Peluang A adalah

* Misal B merupakan kejadian angka mata dadu yang muncul adalah lebih besar dari 2, diperoleh:
o
o Peluang B adalah

* Selanjutnya, kita ingin menghitung peluang munculnya angka mata dadu ganjil dengan syarat angka yang muncul adalah lebih besar dari 2.
o Angka mata dadu ganjil dan lebih besar dari 2, pasti merupakan titik sampel yang ada di B. Jika kejadian B ini kita anggap sebagai ruang sampel (bukan lagi S), maka ruang sampel yang demikian ini dinamakan ruang sampel tereduksi.
o Suatu kejadian munculnya angka mata dadu ganjil dan lebih besar dari 2 adalah dan peluangnya .
o Muncul dua dari empat titik sampel di ruang sampel tereduksi B. Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa adalah peluang bersyarat munculnya angka mata dadu ganjil jika diketahui angka mata dadu yang muncul lebih besar dari 2. Atau dikatakan sebagai peluang kejadian A dengan syarat kejadian B, dan diberi notasi . Lihat Gambar 4.


Gambar 4 Ruang Sampel Tereduksi


Hasil pengamatan di atas, akan membawa kita pada definisi peluang bersyarat berikut ini.



Definisi 1

Misal kejadian A dan B bagian dari ruang sampel S. Peluang kejadian A dengan syarat B dinotasikan dengan dan didefinisikan sebagai


Dengan .


Dari definisi di atas juga dapat diturunkan bentuk rumusan sebagai berikut.




Atau

(6)

Persamaan (6) ini dinamakan aturan hasil kali.

Jika merupakan komplemen dari A, maka peluang kejadian dengan syarat B adalah

(7)


Dua kejadian dikatakan saling bebas jika dua kejadian tersebut tidak saling mempengaruhi. Jadi kejadian A dan kejadian B dikatakan saling bebas jika diberikan syarat kejadian B, maka tidak mempengaruhi kejadian A atau sebaliknya. Dengan kata lain P(A|B) = P(A) atau P(B|A) = P(B) . Jika dimasukkan ke dalam persamaan (1.4.6), maka diperoleh

(8)

Jika berlaku , maka kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian saling bebas.


Contoh 8

Sebuah kaleng berisi 2 bola merah dan 2 bola biru. Dilakukan pengambilan 2 bola secara berurutan, tanpa pengembalian. Tentukan peluang terpilihnya bola merah pada pengambilan yang kedua, jika diketahui bola pertama yang terambil adalah biru.

Penyelesaian:

Misal A kejadian terpilihnya bola merah pada pengambilan kedua. Kejadian B adalah kejadian terpilihnya bola biru pada pengambilan pertama.


Gambar 5 Pengambilan Dua Bola Berurutan

Untuk mempermudah, kita beri nama bola merah dengan m1 dan m2. Bola biru kita beri nama b1
dan b2.

* Kejadian terpilihnya bola pertama biru, kejadian B.
o Anggaplah B sebagai ruang sampel tereduksi.
o
o

* Kejadian terpilihnya bola kedua merah dalam ruang sampel tereduksi B adalah kejadian .
o
o Peluang terpilihnya bola merah pada pengambilan kedua, jika pengambilan bola pertama terpilih putih adalah



Contoh 9

Manajemen suatu kompleks pertokoan telepon genggam mencatat bahwa 60% pembeli adalah wanita dan sisanya adalah pembeli pria. Sebanyak 80% pembeli wanita membayar dengan cara angsuran. Pembeli pria yang membayar dengan cara angsuran hanya 20%.

Jika seorang pembeli dipilih secara acak, maka tentukan peluang terpilihnya:

1. Seorang wanita yang membeli telepon genggam dengan cara angsuran.
2. Seorang pria yang membeli telepon genggam dengan cara angsuran.

Penyelesaian:

Ruang sampel S adalah pembelian telepon genggam di pertokoan.

Misal: - Kejadian W adalah kejadian wanita membeli telepon genggam, P(W) = 0,6.

- Kejadian L adalah kejadian pria membeli telepon genggam, P(L) = 0,4.

- Kejadian A adalah kejadian seorang membeli telepon genggam dengan cara angsuran.

P(A|W) = 0,8 dan P(A|L) = 0,2.

Berdasarkan aturan hasil kali, diperoleh:

1. Peluang terpilihnya seorang wanita membeli telepon genggam dengan cara angsuran adalah


2. Peluang terpilihnya seorang pria membeli telepon genggam dengan cara angsuran adalah




Untuk memahami dua kejadian saling bebas, perhatikan contoh berikut ini.


Contoh 10:

Sebuah uang logam dan sebuah dadu dilemparkan bersama-sama. Berapa peluang munculnya sisi angka pada uang logam dan peluang munculnya angka pada mata dadu adalah ganjil ?.

Penyelesaian :

Ruang sampel dari percobaan ini adalah



Dengan titik sampel (x, y) adalah

* pelemparan uang logam muncul x, nilai dapat a (angka) atau g (gambar)
* pelemparan dadu muncul angka y, nilai y dapat 1, 2, 3, 4, 5, atau 6.


Peluang masing – masing kejadian adalah

* Kejadian A adalah kejadian munculnya sisi angka pada uang logam
o
o .

* Kejadian B adalah kejadian munculnya angka pada mata dadu adalah ganjil.
o
o .

* Kejadian merupakan kejadian munculnya sisi angka pada uang logam dan angka ganjil pada mata dadu.
o
o
Terlihat bahwa berlaku


Oleh karena itu, dikatakan bahwa kejadian A dan B saling bebas.


Frekuensi Harapan Suatu Kejadian


Perhatikan kasus berikut ini : Sebuah dadu dilempar sebanyak 12 kali Tentukan berapa kali kemungkinan muncul mata dadu 2 ?.

Untuk menjawab permasalahan diatas, kita dapat melakukan kegiatan dengan cara sebuah dadu kita lempar 12 kali, kemudian kita catat banyaknya mata dadu 2 yang muncul. Kita ulang lagi dengan melempar dadu sebanyak 12 kali dan kita catat banyaknya mata dadu 2 yang muncul. Kegiatan tersebut kita lakukan beberapa kali. Dari hasil catatan akan terlihat banyaknya muncul mata dadu 2, misal 2 kali.

Peluang munculnya mata dadu 2 pada pelemparan sebuah dadu adalah . Jika dadu dilempar sebanyak 12 kali, maka diharapkan mendapatkan mata dadu 2 sebanyak kali = 2 kali. Harapan munculnya mata dadu 2 sebanyak 2 kali tersebut dinamakan frekuensi harapan.


Frekuensi harapan munculnya kejadian A dengan n kali percobaan adalah



Contoh 11:


Sebuah uang logam dilempar sebanyak 40 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya sisi gambar pada uang logam tersebut.

Penyelesaian :

Misal A merupakan kejadian munculnya sisi gambar, .

Peluang kejadian A adalah .

Jadi frekuensi harapan munculnya sisi gambar pada uang logam adalah kali.







SOAL LATIHAN


Kerjakan soal-soal latihan dibawah ini.

1. Sebuah dadu dilemparkan. Tentukan peluang

a. Muncul mata dadu 4.

b Muncul mata dadu genap.

c. Muncul mata dadu ganjil.

d. Muncul mata dadu genap atau ganjil.

1. Sebuah dadu dan sebuah uang logam dilempar bersama-sama.Tentukan peluang

a. Muncul mata uang angka dan angka dadu 3.

b. Muncul mata uang gambar dan angka dadu genap.

c. Muncul angka dadu ganjil.

d. Muncul mata uang angka dan angka dadu lebih dari 2.

2. Dari satu kantong terdiri dari 6 bola merah, 4 bola hitam dan 3 bola hijau diambil satu bola. Tentukan peluang bola yang terambil berwarna

1. Merah atau hitam.
2. Merah atau hitam atau hijau.
3. Bukan hitam.
4. Bukan hitam atau bukan merah.

3. Jika sebuah huruf diambil dari kata " MATEMATIKA ".Tentukan peluang yang terambil

a. Huruf M

b. Huruf vocal

c. Huruf konsonan

d Bukan huruf vocal

1. Satu kelompok terdiri dari 12 putera dan 4 puteri. Jika tiga orang diambil dari kelompok tersebut, berapa peluang bahwa ketiganya adalah putera.

5. Farhan mempunyai bola 8 bola merah dan 10 bola biru. Kemudian Farhan mengambil dua bola secara acak. Tentukan peluang bola yang terambil

a. Semuanya merah

b. Semuanya biru

c. Satu bola merah dan satu bola biru

6. Budi mempunyai bola 8 bola merah, 10 bola biru dan 6 bola putih .Kemudian Budi mengambil tiga bola secara acak. Tentukan peluang yang terambil

a. Tiga bola tersebut berwarna sama

b. Dua bola merah dan 1 bola putih

c. Satu bola merah dan 2 bola biru

d. Paling sedikit 1 bola putih

e. Tiga bola tersebut berlainan warna

7. Dua buah dadu dilempar bersama – sama.Tentukan peluang munculnya

a. Jumlah mata dadu 5 atau 10

b. Jumlah mata dadu 10 atau mata dadu pertama adalah 6

a. Mata dadu pertama ganjil atau mata dadu kedua genap

8. Pada permainan bridge, 4 pemain masing-masing memegang 13 kartu dari 52 kartu yang ada. Tentukan peluang seorang pemain tertentu kartunya terdiri dari 7 diamond, 2 club, 3 heart dan 1 spade.

9. Tiga buah dadu dilempar bersama – sama. Tentukan peluang munculnya

a. Jumlah mata dadu 12

b. Jumlah mata dadu 10 atau 15

10. Tentukan peluang bahwa sebuah bilangan puluhan adalah kelipatan 3

11. Peluang tim sepak bola SMK " Nusantara " untuk memenangkan suatu pertandingan sepak bola adalah 0,6. Jika tim tersebut akan bermain dalam 50 kali pertandingan, Berapa kali tim sepakbola tersebut akan menang ?

12. Peluang tim basket SMK " Tunas Harapan " untuk memenangkan suatu pertandingan basket adalah 0,8. Jika tim tersebut akan bermain dalam 30 kali pertandingan, Berapa kali tim basket tersebut akan kalah ?

13. Dua buah dadu dilempar bersama - sama sebanyak 288 kali. Tentukan frekuensi harapan

a. Munculnya jumlah mata dadu 10.

b. Munculnya jumlah mata dadu 5 atau 12.

c. Munculnya mata dadu pertama 3 dan mata dadu kedua genap.

d. Munculnya jumlah mata dadu selain 8.

Saturday, January 31, 2009

Aproksimasi: Operasi Hasil Pengukuran

Operasi Hasil Pengukuran

Pada bagian sebelumnya telah dibahas tentang pengukuran, kesalahan, dan toleransi kesalahan. Sebuah objek hasil pengukuran dapat dinyatakan sebagai kesatuan hasil pengukuran dan toleransinya. Pada bagian ini, akan dibahas tentang bagaimana kita mengoperasikan objek hasil pengukuran tersebut. Operasi yang akan dibahas disini adalah operasi penjumlahan, penjumlhan maksimal, selisih minimal, dan perkalian.

1. Jumlah hasil pengukuran

Pada sub bagian ini akan membahas beberapa operator jumlah terhadap nilai hasil pengukuran. Operator jumlah ini terdiri dari jumlah maksimum, jumlah minimum, selisih maksimum, dan selisih minimum.

Definisi 1:

Untuk hasil pengukuran a dan b, Jika c = a+b maka salah mutlak dari c didefinisikan sebagai jumlahan antara salah mutlak dari a dan salah mutlak dari b.

Atau:

Salah mutlak c = Salah mutlak a + Salah mutlak b

Untuk memperjelas definisi diatas, perhatikan beberapa contoh berikut ini.

Contoh 1:

Dalam suatu pengukuran panjang dua buah benda, hasil pengukuran didapat 22,5 m dan 38,7 m. Tentukan salah mutlak dari jumlah hasil dua pengukuran tersebut.

Penyelesaian:

Hasil pengukuran pertama adalah a= 22,5 m, salah mutlak dari a adalah 0,05 m.

Hasil pengukuran kedua adalah b= 38,7 m, salah mutlak dari b adalah 0,05 m.

Misal jumlah dari a dan b adalah c, maka:

Salah mutlak c = Salah mutlak a + Salah mutlak b

= 0,05 m + 0,05 m

= 0,1 m

Definisi 2:

Untuk hasil pengukuran a dan b, Jika c = a-b maka salah mutlak dari c didefinisikan sebagai jumlahan antara salah mutlak dari a dan salah mutlak dari b.

Atau:

Salah mutlak c = Salah mutlak a + Salah mutlak b

Untuk memperjelas definisi diatas, perhatikan beberapa contoh berikut ini.

Contoh 2:

Dalam suatu pengukuran panjang dua buah benda, hasil pengukuran didapat 22,5 m dan 48,7 m. Tentukan salah mutlak dari selisih hasil dua pengukuran tersebut.

Penyelesaian:

Hasil pengukuran pertama adalah a= 22,5 m, salah mutlak dari a adalah 0,05 m.

Hasil pengukuran kedua adalah b= 48,7 m, salah mutlak dari b adalah 0,05 m.

Misal selisih dari a dan b adalah c, maka:

Salah mutlak c = Salah mutlak a + Salah mutlak b

= 0,05 m + 0,05 m

= 0,1 m

Definisi 3:

Jumlah maksimum dua buah pengukuran a dan b didefinisikan sebagai jumlah dari jumlah antara pengukuran a dengan pengukuran b dengan salah mutlak jumlah pengukuran a dengan pengukuran b.

Atau:

c = a + b + Salah mutlak c

Dengan c adalah jumlah maksimum dua buah pengukuran a dan b.

Contoh 3:

Dalam suatu pengukuran panjang dua buah benda, hasil pengukuran didapat 22,5 m dan 48,7 m. Tentukan jumlah maksimum dari hasil dua pengukuran tersebut.

Penyelesaian:

Dari Contoh 1, salah mutlak dari jumlah dua pengukuran 22,5 m dan 48,7 m adalah 0,1 m.

Misal c adalah jumlah maksimum dua buah pengukuran a dan b, maka hasil jumlah maksimum antara a dan b adalah:

c = (22,5 m + 48,7 m) + Salah mutlak c

= 71,2 m + 0,1 m

= 71,3 m

Definisi 4:

Jumlah minimum dua buah pengukuran a dan b didefinisikan sebagai selisih jumlah dari jumlah antara pengukuran a dengan pengukuran b dengan salah mutlak dari jumlah pengukuran a dengan pengukuran b.

Atau:

c = a + b - Salah mutlak c

Dengan c adalah jumlah maksimum dua buah pengukuran a dan b.

Contoh 4:

Dalam suatu pengukuran panjang dua buah benda, hasil pengukuran didapat 22,5 m dan 48,7 m. Tentukan jumlah minimum dari hasil dua pengukuran tersebut.

Penyelesaian:

Dari Contoh 1, salah mutlak dari jumlah dua pengukuran 22,5 m dan 48,7 m adalah 0,1 m.

Misal c adalah jumlah maksimum dua buah pengukuran a dan b, maka hasil jumlah maksimum antara a dan b adalah:

c = (22,5 m + 48,7 m) - Salah mutlak c

= 71,2 m - 0,1 m

= 71,1 m

Definisi 4:

Selisih maksimum dua buah pengukuran a dan b didefinisikan sebagai jumlah dari selisih antara pengukuran a dengan pengukuran b dengan salah mutlak jumlah pengukuran a dengan pengukuran b.

Atau:

c = a - b + Salah mutlak c

Dengan c adalah selisih maksimum dua buah pengukuran a dan b.

Contoh 5:

Dalam suatu pengukuran panjang dua buah benda, hasil pengukuran didapat 22,5 m dan 48,7 m. Tentukan selisih maksimum dari hasil dua pengukuran tersebut.

Penyelesaian:

Dari Contoh 1, salah mutlak dari jumlah dua pengukuran 22,5 m dan 48,7 m adalah 0,1 m.

Misal c adalah jumlah maksimum dua buah pengukuran a dan b, maka hasil jumlah maksimum antara a dan b adalah:

c = (22,5 m - 48,7 m) + Salah mutlak c

= -26,2 m + 0,1 m = -26,1 m

Definisi 4:

Selisih minimum dua buah pengukuran a dan b didefinisikan sebagai selisih dari selisih antara pengukuran a dengan pengukuran b dengan salah mutlak dari jumlah pengukuran a dengan pengukuran b.

Atau:

c = a - b - Salah mutlak c

Dengan c adalah selisih minimum dua buah pengukuran a dan b.

Contoh 6:

Dalam suatu pengukuran panjang dua buah benda, hasil pengukuran didapat 22,5 m dan 48,7 m. Tentukan selisih minimum dari hasil dua pengukuran tersebut.

Penyelesaian:

Dari Contoh 1, salah mutlak dari jumlah dua pengukuran 22,5 m dan 48,7 m adalah 0,1 m.

Misal c adalah selisih minimum dua buah pengukuran a dan b, maka hasil selisih minimum antara a dan b adalah:

c = (22,5 m - 48,7 m) - Salah mutlak c

= -26,2 m - 0,1 m

= -26,3 m

2. Perkalian hasil pengukuran

Pada sub bagian ini akan membahas beberapa operator perkalian terhadap nilai hasil pengukuran. Operator perkalian ini terdiri dari perkalian maksimum dan perkalian minimum.

Definisi 5:

Perkalian maksimum dua buah pengukuran a dan b didefinisikan sebagai hasil kali dari ukuran terbesar a dengan ukuran terbesar b.

Atau:

c = (ukuran terbesar a) x (ukuran terbesar b)

Dengan c adalah perkalian maksimum antara dua buah pengukuran a dan b.

Contoh 7:

Dalam suatu pengukuran panjang dua buah benda, hasil pengukuran didapat 22,5 m dan 48,7 m. Tentukan perkalian maksimum dari hasil dua pengukuran tersebut.

Penyelesaian:

Hasil pengukuran pertama adalah a= 22,5 m, salah mutlak dari a adalah 0,05 m.

Hasil pengukuran kedua adalah b= 38,7 m, salah mutlak dari b adalah 0,05 m.

Ukuran terbesar a = 22,5 m + 0,05 m = 22,55 m.

Ukuran terbesar b = 48,7 m + 0,05 m = 48,75 m.

Misal c adalah perkalian maksimum dua buah pengukuran a dan b, maka hasil perkalian maksimum antara a dan b adalah:

c = (ukuran terbesar a) x (ukuran terbesar b)

= 22,55 m x 48,75 m

= 1099,313 m2.

Definisi 6:

Perkalian minimum dua buah pengukuran a dan b didefinisikan sebagai hasil kali dari ukuran terkecil a dengan ukuran terkecil b.

Atau:

c = (ukuran terkecil a) x (ukuran tekecil b)

Dengan c adalah perkalian minimum antara dua buah pengukuran a dan b.

Contoh 7:

Dalam suatu pengukuran panjang dua buah benda, hasil pengukuran didapat 22,5 m dan 48,7 m. Tentukan perkalian minimum dari hasil dua pengukuran tersebut.

Penyelesaian:

Hasil pengukuran pertama adalah a= 22,5 m, salah mutlak dari a adalah 0,05 m.

Hasil pengukuran kedua adalah b= 38,7 m, salah mutlak dari b adalah 0,05 m.

Ukuran terkecil a = 22,5 m - 0,05 m = 22,45 m.

Ukuran terkecil b = 48,7 m - 0,05 m = 48,65 m.

Misal c adalah perkalian minimum dua buah pengukuran a dan b, maka hasil perkalian minimum antara a dan b adalah:

c = (ukuran terkecil a) x (ukuran terkecil b)

= 22,45 m x 48,65 m

= 1092,193 m2.


Latihan

1. Hasil dua penimbangan berat Anggur masing-masing adalah 2,50 kg dan 3,25 kg. Tentukan:

a. Jumlah maksimum dari dua pengukuran tersebut.

b. Jumlah minimum dari dua pengukuran tersebut.

c. Selisih maksimum dari dua pengukuran tersebut.

d. Selisih minimum dari dua pengukuran tersebut.

e. Perkalian maksimum dari pengukuran tersebut.

f. Perkalian minimum dari dua pengukuran tersebut.

2. Andi mengambil selembar kertas A4 dari sebuah produk dan melakukan pengukuran lebar kertas tersebut adalah 20,8 cm dan pengukuran panjangnya didapat 29,5 cm. Tentukan panjang setengah keliling maksimum dan Tentukan panjang setengah keliling minimum dari kertas tersebut.

3. Andi mengambil selembar kertas A4 dari sebuah produk dan melakukan pengukuran lebar kertas tersebut adalah 20,8 cm dan pengukuran panjangnya didapat 29,5 cm. Tentukan luas maksimum dan luas minimum dari kertas tersebut.

4. Sebuah produk minuman ringan dalam kaleng yang berbentuk tabung. Balai Pengawas Obat dan Makanan (POM) melakukan pengujiann tinggi kaleng. volume, mengambil sebuah produk dan mengukur diameter kaleng tinggi kaleng. Tentukan volume maksimum dan volume minimum dari kaleng tersebut.

5. Seorang pramuniaga dari mini market, menimbang anggur yang dipilih oleh seorang pembeli. Hasil dari penimbangan tersebut adalah 0,75 Kg. Kemudian pembeli tersebut mengambil anggur lagi dan pramuniaga melakukan penimbangan yang ke dua di dapat hasil 2,50 Kg. Tentukan:

a. Jumlah maksimum dari bobot anggur yang dibeli tersebut.

b. Jumlah minimum dari bobot anggur yang dibeli tersebut.

c. Selisih maksimum dari bobot anggur yang dibeli tersebut.

d. Selisih minimum dari bobot anggur yang dibeli tersebut.

6. Dalam laga formula satu (F1), Michael Schummacer memasuki pitch sebanyak tiga kali. Timnya melakukan penggantian roda dengan catatan waktu 6,9 detik pada pitch pertama, 7,0 detik pada pitch kedua, dan 6,5 detik pada pitch ke tiga. Tentukan:

a. Jumlah maksimum dari waktu yang dipakai oleh Schummacer untuk memasuki pitch.

b. Jumlah minimum dari waktu yang dipakai oleh Schummacer untuk memasuki pitch.

c. Selisih maksimum dari waktu yang dipakai oleh Schummacer untuk memasuki pitch.

d. Selisih minimum dari waktu yang dipakai oleh Schummacer untuk memasuki pitch.

Aproksimasi: Kesalahan

Kesalahan

Seseorang sedang melakukan pengukuran terhadap panjang suatu ruas jalan tol dan panjang kertas A4. Hasil pengukurannya untuk jalan tol didapat 9.950 m dan hasil pengukuran untuk panjang kertas adalah 29 cm. Padahal panjang sebenarnya untuk jalan tol adalah 10.000 m dan panjang sebenarnya untuk kertas A4 adalah 29,7 cm. Disini terjadi kesalahan pengukuran untuk jalan tol sebesar 50 m atau 5.000 cm. Dan kesalahan pengukuran untuk panjang kertas A4 adalah 0,7 cm. Pengukuran yang manakah yang lebih teliti?.

Definisi 1:

Kesalahan (error) didefinisikan sebagai selisih antara nilai sebenarnya dan nilai hasil pengukuran, atau

Secara simbolik dinyatakan dengan:

Dengan et merupakan kesalahan pengukuran, xs adalah nilai sebenarnya (true value) dan xa adalah nilai pengukuran atau nilai pendekatan (aproksimasi).

Dengan definisi pada persamaan , kesalahan dapat bernilai positif dan dapat pula bernilai negatif. Kesalahan akan bernilai negatif apabila nilai pengukuran lebih besar dari nilai sebenarnya.

Untuk memperjelas pengertian dan pemahaman terhadap definisi di atas, lihat contoh berikut ini.

Contoh 1:

Pada kasus pengukuran jalan tol dan panjang kertas A4 di atas, kesalahan dapat ditabelkan seperti berikut ini.

Pengukuran

Panjang Sebenarnya

xt

Hasil Pengukuran

xa

Kesalahan

et

Panjang Jalan Tol

10.000 m

9.950 m

5.000 cm

Panjang Kertas A4

29,7 cm

29 cm

0,7 cm

Kesalahan pada pengukuran jalan tol (5.000 cm) jauh lebih besar jika dibandingkan dengan kesalahan pada pengukuran panjang kertas A4 (0,7 cm). Namun demikian kesalahan pengukuran pada jalan tol tersebut lebih bisa diterima, karena kalau dibandingkan dengan nilai sebenarnya kesalahan tersebut hanya sebesar 10.000 m dibagi 50 m atau sebesar 0,005. Sedangkan kesalahan pengukuran panjang kertas A4 dibandingkan dengan nilai sebenarnya adalah 29,7 cm dibagi 0,7 cm adalah 0,02357.

Oleh karena itu, dibuat suatu definisi tentang kesalahan relatif dan prosentase kesalahan relatif seperti berikut ini.

Definisi 2:

Kealahan relatif (relatif error) didefinisikan sebagai kesalahan dibagi dengan nilai sebenarnya, atau

Secara simbolik dinyatakan dengan:

Dengan er merupakan kesalahan relatif, et adalah nilai kesalahan dan xt adalah nilai sebenarnya.

Definisi 3:

Prosentase kesalahan relatif didefinisikan sebagai kesalahan relatif dikalikan 100%, atau

Dengan per merupakan prosentase kesalahan relatif, et adalah nilai kesalahan dan xt adalah nilai sebenarnya.

Contoh 2:

Pada kasus pengukuran jalan tol dan panjang kertas A4 di atas, kesalahan dapat ditabelkan seperti berikut ini.

Pengukuran

xt

xa

et

er

per

Panjang Jalan Tol

10.000 m

9.950 m

5.000 cm

0,005

0,5%

Panjang Kertas A4

29,7 cm

29 cm

0,7 cm

0,02357

2%

Jadi kesalahan relatif pada pengukuran panjang jalan tol lebih kecil dari kesalahan relatif pada pengukuran panjang kertas A4.

Pada pembahasan kesalahan di atas, nilai sebenarnya telah diketahui. Namun demikian pada sebagian besar permasalahan pengukuran nilai sebenarnya ini belum diketahui. Jika nilai sebenarnya tidak atau belum diketahui, maka rumusan persamaan sampai dengan persamaan tidak dapat digunakan. Untuk itu diperlukan adanya suatu rumusan lain yang dapat dipakai untuk memperkirakan seberapa besar kesalahan dari suatu pengukuran.

Misal seseorang melakukan pengukuran terhadap lebar dari meja, lebar meja yang sebenarnya tidak diketahui. Pada saat melakukan pengukuran terbaca 75 cm. Ini bukan berarti lebar meja yang sebenarnya adalah 75 cm. Hanya pada alat ukur terbaca lebih dekat ke 75 cm dari pada ke 74 cm atau ke 76 cm. Bisa dikatakan bahwa lebar meja tersebut diantara 74.5 cm dan 76.5 cm. Artinya kesalahan pengukuran yang masih dapat diterima adalah 0,5 cm. Secara tidak formal, nilai 76,5 cm dikatakan sebagai batas atas pengukuran (nilai ukuran terbesar), nilai 74,5 cm merupakan batas bawah pengukuran (nilai ukuran terkecil), dan nilai 0,5 cm sebagai kesalahan mutlak pengukuran. Rentang batas atas dan batas bawah ini dinamakan sebagai satuan pengukuran terkecil.

Selanjutnya akan dibahas beberapa definisi kesalahan yang terkait dengan pengukuran terhadap objek yang nilai sebenarnya tidak diketahui.

Definisi 4:

Satuan pengukuran terkecil adalah tingkat ketelitian dalam pengukuran.

Contoh 3:

Dalam pengukuran lebar meja, digunakan satuan pengukuran cm. Hasil pengukuran lebar meja adalah 75 cm. Dalam pengukuran ini mempunyai satuan pengukuran terkecil 1 cm.

Contoh 4:

Dalam pengukuran lebar jalan, digunakan satuan pengukuran m. Hasil pengukuran lebar jalan adalah 7,5 m. Dalam pengukuran ini mempunyai satuan pengukuran terkecil 0,1 m.

Contoh 5:

Dalam pengukuran luas dasar kolam bentuk persegi panjang, digunakan satuan pengukuran m2. Hasil pengukuran luas tersebut adalah adalah 45,50 m2. Dalam pengukuran ini mempunyai satuan pengukuran terkecil 0,01 m2.

Contoh 6:

Dalam pengukuran volume air di dalam tandon bentuk tabung, digunakan satuan pengukuran m3. Hasil pengukuran volume air tersebut adalah adalah 1,5 m3. Dalam pengukuran ini mempunyai satuan pengukuran terkecil 0,1 m3.

Definisi 5:

Salah mutlak dalam suatu pengukuran adalah setengah kali satuan pengukuran terkecil, atau

Secara simbolik dinyatakan dengan:

Dengan SM merupakan salah mutlak, u adalah satuan ukuran terkecil.

Dengan definisi pada persamaan , salah mutlak selalu bernilai positif. Untuk memperjelas pengertian dan pemahaman terhadap definisi di atas, lihat contoh berikut ini.

Contoh 7:

Seseorang melakukan pengukuran lebar sungai. Hasil pengukuran tercatat 3,5 m. Tentukan salah mutlak dari pengukuran tersebut.

Penyelesaian:

Satuan pengukuran terkecil dari hasil pengukuran tersebut adalah u=0,1 m.

Dengan menggunakan definisi , salah mutlak pengukuran adalah

Contoh 8:

Suatu produk air minum kemasan dalam botol, tertulis isi 0,75 liter. Tentukan salah mutlak dari isi kemasan air minum tersebut.

Penyelesaian:

Satuan pengukuran terkecil dari hasil pengukuran tersebut adalah u=0,01 liter.

Dengan menggunakan definisi , salah mutlak pengukuran adalah .

Contoh 9:

Wijaya melakukan pengukuran luas ruangan dan hasil pengukuran tercatat 20,25 m2. Alex si tukang keramik mengatakan luas keramik ini adalah 400,00 cm2. Tentukan salah mutlak dari pengukuran yang dilakukan Wijaya dan Alex tersebut.

Penyelesaian:

· Hasil pengukuran Wijaya adalah 20,25 m2. Dengan menggunakan definisi , salah mutlak pengukuran Wijaya adalah . Atau dalam ukuran cm2 menjadi

· Hasil pengukuran Alex adalah 400,00 cm2. Dengan menggunakan definisi , salah mutlak pengukuran Alex adalah .

Dengan hanya menggunakan definisi salah mutlak, perbandingan kesalahan dari dua pengukuran sulit untuk dibandingkan. Oleh karena itu, dibuat suatu definisi kesalahan yang merujuk pada nilai pengukurannya. Selanjutnya akan didefinisikan salah relatif dan prosentase salah relatif.

Definisi 6:

Salah relatif didefinisikan sebagai salah mutlak dibagi dengan nilai pengukuran, atau

Secara simbolik dinyatakan dengan:

Dengan SR merupakan salah relatif, SM adalah salah mutlak nilai dan xa adalah nilai pengukuran.

Definisi 7:

Prosentase salah relatif didefinisikan sebagai salah relatif dikalikan 100%, atau

Dengan per merupakan prosentase salah relatif, et adalah salah mutlak nilai dan xt adalah nilai sebenarnya.

Contoh 10:

Seseorang melakukan pengukuran lebar sungai pada contoh 7. Hasil pengukuran tercatat 3,5 m. Tentukan salah relatif dan prosentase salah relatif dari pengukuran tersebut.

Penyelesaian:

Dari contoh 7, didapat salah mutlak .

· Salah Relatif

Dengan menggunakan persamaan , didapat salah relatif sebagai berikut

· Prosentase Salah Relatif

Dengan menggunakan persamaan , didapat prosentase salah relatif sebagai berikut

Contoh 11:

Kembali ke contoh 10, Wijaya melakukan pengukuran luas ruangan dan hasil pengukuran tercatat 20,25 m2. Alex si tukang keramik mengatakan luas keramik ini adalah 400,00 cm2. Tentukan salah relatif dan prosentase salah relatif dari pengukuran yang dilakukan Wijaya dan Alex tersebut. Dari hasil perhitungan kesalahan tersebut, manakah yang lebih teliti ?, Wijaya atau Alex?.

Penyelesaian:

· Hasil pengukuran Wijaya adalah 20,25 m2. Dengan menggunakan definisi , , dan , didapat:

o Salah mutlak

o Salah relatif

o Prosentase salah relatif

· Hasil pengukuran Alex adalah 400,00 cm2. Dengan menggunakan definisi , , dan , didapat:

o Salah mutlak

o Salah relatif

o Prosentase salah relatif

Perbandingan kesalahan dari dua pengukuran Wijaya dan Alex, secara prosentase kesalahan relatifnya, pengukuran Alex mempunyai kesalahan yang jauh lebih kecil dibandingkan dengan yang dilakukan oleh wijaya.

Definisi 8:

Ukuran terbesar dari suatu pengukuran adalah nilai hasil pengukuran ditambah dengan salah mutlak dari pengukuran.

Atau

Dengan xa adalah nilai hasil pengukuran dan SM adalah salah mutlak dari pengukuran.

Definisi 9:

Ukuran terkecil dari suatu pengukuran adalah nilai hasil pengukuran dikurangi dengan salah mutlak dari pengukuran.

Atau

Dengan xa adalah nilai hasil pengukuran dan SM adalah salah mutlak dari pengukuran.

Contoh 12:

Panjang dari lapangan sepak bola adalah 100 m. Tentukan ukuran terbesar dan ukuran terkecil dari pengukuran tersebut.

Penyelesaian:

· Satuan pengukuran terkecil dari pengukuran adalah u = 1 m.

· Salah mutlak dari pengukuran isi air adalah

· Ukuran terbesar pengukuran adalah

· Ukuran terkecil pengukuran adalah

Contoh 13:

Misal nilai hasil pengukuran isi air dalam botol adalah 1,5 liter. Tentukan ukuran terbesar dan ukuran terkecil dari pengukuran tersebut.

Penyelesaian:

· Satuan pengukuran terkecil dari pengukuran adalah u = 0,1 liter.

· Salah mutlak dari pengukuran isi air adalah

· Ukuran terbesar pengukuran adalah

· Ukuran terkecil pengukuran adalah

Definisi 10:

Toleransi kesalahan pengukuran adalah selisih antara ukuran terbesar dengan

ukuran terkecil dari pengukuran.

Atau

Teorema 1:

Tolerasi kesalahan sama dengan dua kali salah mutlak.

Bukti:

Berdasarkan Definisi 8, Definisi 9, dan Definisi10 dapat diturunkan :

Jadi toleransi kesalahan dapat dicari dengan mengalikan salah mutlak dengan 2.

Contoh 14:

Misal nilai hasil pengukuran isi air dalam botol adalah 1,5 liter. Tentukan toleransi kesalahan pengukuran tersebut.

Penyelesaian:

Dari contoh 13 didapat:

· Salah mutlak dari pengukuran isi air adalah

· Ukuran terbesar pengukuran adalah

· Ukuran terkecil pengukuran adalah

Dengan menggunakan persamaan , didapat nilai toleransi kesalahan:

Atau dengan menggunakan persamaan , didapat nilai toleransi kesalahan:

Toleransi kesalahan = 2 SM = 2 (0,05 liter)= 0,1 liter.

Teorema 2:

Jika xa menyatakan nilai hasil pengukuran, maka ukuran terbesar dari pengukuran tersebut sama dengan nilai hasil pengukuran ditambah setengah kali toleransi kesalahan.

Bukti:

Berdasarkan persamaan dan didapat :

Teorema 3:

Jika xa menyatakan nilai hasil pengukuran, maka ukuran terkecil dari pengukuran tersebut sama dengan nilai hasil pengukuran dikurangi dua kali toleransi kesalahan.

Bukti:

Berdasarkan persamaan dan didapat :

Dalam pernyataan ukuran sebagai ukuran standarisasi, penulisan ukuran standar tersebut biasa dinyatakan dalam bentuk:

Contoh 15:

Pada suatu pengukuran, didapat ukuran terbesar yang dapat diterima 12,4 mm dan ukuran terkecil yang dapat diterima adalah 11,8 mm. Tentukan toleransi kesalahan pengukuran.

Penyelesaian:

Toleransi kesalahan = Ukuran terbesar – ukuran terkecil

= 12,4 mm – 11,8 mm

= 0,6 mm

Contoh 16:

Ukuran standar baut diameter 10 mm mempunyai tolerasi kesalahan 0,2 mm. Ukuran standar diameter baut tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk (10 + 0,1) mm. Jika ada suatu perusahaan yang akan memproduksi baut yang memenuhi ukuran standar tersebut, maka berapakah ukuran terbesar dan ukuran terkecil yang diperbolehkan agar memenuhi standar tersebut?

Penyelesaian:

· Ukuran terbesar diameter baut yang diperbolehkan adalah:

· Ukuran terkecil diameter baut yang diperbolehkan adalah:


Latihan

1. Suatu produk kertas ukuran F4, tertulis berat dari kertas adalah 80 gsm. Setelah dilakukan penimbangan didapat hasil 79,75 gsm. Tentukan kesalahan, kesalahan relatif, dan prosentase kesalahan relatif dari berat kertas tersebut.

2. Diketahui bahwa lebar dari kertas A4 adalah 21 cm dan panjangnya adalah 29,7 cm. Atau diketahui ukuran kertas A4 adalah 21 x 29,7 cm. Andi mengambil selembar kertas A4 dari sebuah produk dan melakukan pengukuran lebar kertas tersebut adalah 20,8 cm dan pengukuran panjangnya didapat 29,5 cm. Tentukan kesalahan, kesalahan relatif, dan prosentase kesalahan relatif dari

a. Ukuran lebar dari kertas A4 yang diukur oleh Andi tersebut.

b. Ukuran panjang dari kertas A4 yang diukur oleh Andi tersebut.

c. Ukuran luas dari kertas A4 yang diukur oleh Andi tersebut.

3. Seperti pada contoh nomor 2, cobalah anda lakukan pengukuran sendiri dan kemudian tentukan kesalahan, kesahan relatif, dan prosentase kesalahan relatif dari hasil pengukuran anda.

4. Sebuah produk rokok menginginkan produknya mempunyai kandungan 14 MG Tar dan 1,0 MG Nicotine. Nilai kandungan ini dituliskan pada bungkus rokok. Bagian uji kualitas dari perusahan tersebut mengambil sebuah sample produk dan melakukan pengujian kandungan Tar dan Nicotine. Hasil pengujian didapat 14,5 MG Tar dan 1,45 MG Nicotine. Berapakah nilai kesalahan, kesalahan relatif, dan prosentase kesalahan relatif dari produk tersebut.

5. Sebuah produk minuman ringan dalam kaleng mencantukan isi bersih dari minumannya adalah 330 ml. Balai Pengawas Obat dan Makanan (POM) melakukan pengujian, mengambil sebuah produk dan menuangkan dalam sebuah gelas ukur. Hasil pengukuran isi dari minuman kaleng tersebut adalah 315 ml. Tentukan kesalahan, kesalahan relatif, dan prosentase kesalahan relatif dari ukuran isi tersebut.

6. Seorang pramuniaga dari mini market, menimbang anggur yang dipilih oleh seorang pembeli. Hasil dari penimbangan tersebut adalah 0,75 Kg. Tentukan satuan ukuran terkecil, salah mutlak, salah relatif, prosentase salah relatif dari hasil penimbangan yang dilakukan oleh pramuniaga tersebut.

7. Dalam laga formula satu (F1), Michael Schummacer memasuki pitch. Timnya melakukan penggantian roda dengan catatan waktu 6,9 detik. Tentukan satuan ukuran terkecil, salah mutlak, salah relatif, prosentase salah relatif dari waktu pencatatan penggantian roda oleh Tim tersebut.

8. Besaran bilangan – bilangan berikut ini didapatkan dari hasil pengukuran.

a. 176 Ha

b. 19,5 gallon

c. 6,95 detik

d. 5,751 ton

e. 10.000 m3/hari

Tentukan satuan ukuran terkecil, salah mutlak, salah relatif, prosentase salah relatif dari pengukuran di atas.

9. Besaran bilangan – bilangan berikut ini didapatkan dari hasil pengukuran.

a. 176 Ha

b. 19,5 gallon

c. 6,95 detik

d. 5,751 ton

e. 10.000 m3/hari

Tentukan ukuran terbesar dan ukuran terkecil dari pengukuran di atas.

10. Berikut ini merupakan pernyatan standar pengukuran. Tentukan nilai pengukuran terbesar dan nilai pengukuran terkecil yang dapat diterima, dan tentukan juga toleransi kesalahannya.

a. (6,22 + 0,12) cm.

b. (4,1 + 0,5) detik.

c. (50,0 + 0,1) gr.

d. (100,536 + 0,123) mm.

e. (2,5 + 0,01) ton.