AdSense Ads

Thursday, January 01, 2009

Aproksimasi Kesalahan


Aproksimasi Kesalahan

Aproksimasi Kesalahan

1.1 Menerapkan Konsep Kesalahan Pengukuran

1.1.1 Membilang dan Mengukur

Dalam keseharian, seseorang sering melakukan penghitungan banyaknya objek atau benda. Seperti menghitung:

  1. Banyaknya siswa laki-laki yang ada di SMK Negeri I.
  2. Banyaknya transaksi penjualan dalam satu hari.
  3. Banyaknya pelanggan yang berasal dari kota Bandung.
  4. Banyaknya wisatawan asing yang mengunjungi Pulau Bali.
  5. Besarnya pendapatan daerah yang berasal dari pajak Hotel dan Rumah Makan.

Kegiatan menghitung di atas menghasilkan suatu bilangan yang pasti, dapat dianggap tanpa ada suatu kesalahan. Suatu kegiatan yang menghasilkan suatu besaran bilangan yang pasti seperti ini dinamakan membilang. Jadi hasil dari kegiatan membilang adalah suatu bilangan yang pasti atau eksak, tanpa ada suatu kesalahan.

Berikut ini adalah contoh – contoh bilangan hasil dari membilang.

  1. Banyaknya siswa laki-laki yang ada di SMK Negeri I adalah 279 orang.
  2. Transaksi penjualan Apotik Sehat hari ini adalah Rp. 1.000.000,00.
  3. Ada 75 pelanggan yang berasal dari kota Bandung.
  4. Wisatawan asing yang mengunjungi Pulau Bali di tahun 2007 sebanyak 2.500.000 orang.
  5. Pendapatan daerah yang berasal dari pajak Hotel dan Rumah Makan di Kota Jakarta adalah Rp. 2.700.000.000,00.

Disisi lain, ada suatu kegiatan pengukuran terhadap keadaan dari suatu benda atau objek. Seperti melakukan pengukuran:

  1. Suhu dalam suatu ruangan.
  2. Luas area persawahan di Propinsi Jawa Timur.
  3. Berat kendaraan truk dalam keadaan kosong.
  4. Ketinggian air sungai bengawan Solo.

Kegiatan di atas menghasilkan suatu bilangan yang tidak sama persis dengan ukuran sebenarnya dari objek yang diukur, dapat dianggap ada suatu kesalahan. Kegiatan semacam ini dinamakan mengukur. Jadi hasil dari kegiatan mengukur adalah suatu bilangan yang tidak eksak, ada suatu kesalahan. Akan tetapi hasil pengukuran ini mendekati nilai sebenarnya. Dengan kata lain, hasil pengukuran adalah suatu bilangan pendekatan atau aproksimasi. Walaupun hasil pengukuran berupa nilai pendekatan, ketelitian harus diperhatikan.

Berikut ini adalah contoh – contoh bilangan hasil dari mengukur.

  1. Suhu dalam suatu Kamar Operasi di Rumah Sakit Cipto adalah 20,5 0 C.
  2. Luas area persawahan di Propinsi Jawa Timur 5700 Ha.
  3. Berat kendaraan truk dalam keadaan kosong 5,25 ton.
  4. Ketinggian air sungai bengawan Solo pada tanggal 5 Oktober 2007 adalah 5,9 m.
  5. Diameter dari kepingan uang logam Rp. 100 adalah 2,15 cm.

Bilangan pendekatan seperti contoh di atas biasanya didapat dari pengukuran berdasarkan pembulatan.

1.1.2 Pembulatan

Ada tiga macam pembulatan, yaitu:

1. Pembulatan bilangan ke satuan ukuran terdekat.

Sebagai misal: diinginkan mengukur tinggi badan seseorang dengan menggunakan satuan cm. Tinggi badan dari si Aldi adalah 172,5 cm. Hasil ini dapat dibulatkan menjadi 173 cm.

Jika bilangan riil x=a1a2...am,b1b2...bn-1bn akan dibulatkan ke satuan ukuran terdekat, maka aturan pembulatan sebagai berikut:

i. Jika angka bn <>x = a1a2...am,b1b2...bn-1 .

ii. Jika angka bn > 5 maka bilangan x = a1a2...am,b1b2...(bn-1+1) .

iii. Jika angka bn = 5 maka tergantung nilai bn-1

· Jika bn-1 merupakan angka genap maka bilangan x = a1a2...am,b1b2...bn-1

· Jika bn-1 merupakan angka ganjil maka

bilangan x = a1a2...am,b1b2...(bn-1+1)

Contoh 1:

Pada suatu pengukuran didapat besaran bilangan 314,25 m, ekspresi bilangan ini menyatakan pembulatan sampai dengan perseratus meter terdekat atau sampai dengan 1 cm terdekat. Bilangan 314,25 m dapat juga dibulatkan menjadi 314,3 m yang berarti pembulatan sampai dengan persepuluh meter terdekat. Bilangan 314,3 m dapat juga dibulatkan menjadi 314 m yang berarti pembulatan sampai dengan satuan meter terdekat.

Contoh 2:

Tabel berikut ini merupakan contoh pembulatan beberapa bilangan.

Bilangan x

Pembulatan dari x

0,2342

0,234

3,148

3,15

25,45

25,4

25,35

25,4

2. Pembulatan bilangan ke dalam banyaknya desimal yang dikehendaki.

Pembulatan sampai dengan sekian tempat desimal dibelakang koma. Sebagai misal: diinginkan mengukur lamanya (running time) suatu program dijalankan oleh suatu komputer dalam menit. Hasil yang dikehendaki adalah tiga angka (digit) dibelakang koma atau tiga tempat desimal. Misal dalam percobaan didapat hasil 1,351 menit, iini berarti dibulatkan sampai dengan 3 tempat desimal.

Contoh 3:

Pada suatu pengukuran didapat besaran bilangan 314,25 m, ekspresi bilangan ini menyatakan pembulatan sampai dengan dua tempat desimal. Bilangan 314,25 m dapat juga dibulatkan menjadi 314,3 m yang berarti pembulatan sampai dengan satu tempat desimal.

Contoh 4:

Pada suatu pengukuran didapat besaran bilangan 314,25785 m, ekspresi bilangan ini menyatakan pembulatan sampai dengan lima tempat desimal. Bilangan tersebut juga dapat dibulatkan kedalam:

· Empat tempat desimal, menjadi 314,2578 m

· Tiga tempat desimal, menjadi 314,258 m

· Dua tempat desimal, menjadi 314,26 m.

1.1.3 Angka Signifikan

Angka – angka dalam suatu bilangan selain deretan angka 0 yang ada diposisi depan dinamakan angka signifikan (significant digit) atau angka penting. Banyaknya angka signifikan pada bilangan hasil pengukuran 1,351 adalah 4. Banyaknya angka signifikan pada bilangan 1,300 adalah 4. Sedangkan bilangan 0,030 mempunyai 2 angka signifikan, yaitu 30 sedangkan deretan 0,0 didepan tidak dihitung.

Contoh 5:

Banyaknya angka signifikan pada beberapa bilangan.

Bilangan

Banyaknya angka signifikan

10.003

5

0.1003

4

0.0103

3


Latihan

1. Manakah kegiatan dibawah ini yang merupakan kegiatan membilang dan mana yang merupakan mengukur.

a. Banyaknya penduduk usia sekolah di Jakarta.

b. Gempa bumi yang terjadi di Yogyakarta mempunyai kekuatan 6,5 skala richter.

c. Nilai tertinggi Ujian Akhir Nasional tingkat SMK pada tahun 2007 adalah 45,71.

d. Perolehan medali emas kontingen DKI Jakarta di Olimpiade Sains Nasional 2006.

e. Jarak tempuh suatu kendaran motor per liter.

f. Nilai total penjualan dalam satu tahun pada suatu departemen store.

g. Personel TNI disyaratkan mempunyai tinggi badan minimal 160 cm.

h. Pesawat Boeing A300 terbang pada ketinggian 3000 kaki di atas permukaan air laut.

i. Banyaknya siswa SMK yang mengikuti seleksi penerimaan mahasiswa baru di Perguruan Tinggi Negeri.

2. Lakukan pembulatan bilangan berikut ini kedalam 3 dan 2 tempat desimal.

a. 72,45329.

b. 0,7447

c. 0,0195

3. Berapa banyaknya angka signifikan dari bilangan berikut ini.

a. 85632

b. 13000

c. 007

d. 0,02003

e. 2,0300500

4. Lakukan pembulatan bilangan:

a. 856,0908 hingga mempunyai 5 angka signifikan.

b. 0,00908 hingga mempunyai 2 angka signifikan.

c. 856,0908000 hingga mempunyai 4 angka signifikan.

d. 0,90897978 hingga mempunyai 5 angka signifikan.

e. 856,0908 hingga mempunyai 4 angka signifikan.


2 Kesalahan

Seseorang sedang melakukan pengukuran terhadap panjang suatu ruas jalan tol dan panjang kertas A4. Hasil pengukurannya untuk jalan tol didapat 9.950 m dan hasil pengukuran untuk panjang kertas adalah 29 cm. Padahal panjang sebenarnya untuk jalan tol adalah 10.000 m dan panjang sebenarnya untuk kertas A4 adalah 29,7 cm. Disini terjadi kesalahan pengukuran untuk jalan tol sebesar 50 m atau 5.000 cm. Dan kesalahan pengukuran untuk panjang kertas A4 adalah 0,7 cm. Pengukuran yang manakah yang lebih teliti?.

Definisi 1:

Kesalahan (error) didefinisikan sebagai selisih antara nilai sebenarnya dan nilai hasil pengukuran, atau

Secara simbolik dinyatakan dengan:

HTML clipboard

Dengan et merupakan kesalahan pengukuran, xs adalah nilai sebenarnya (true value) dan xa adalah nilai pengukuran atau nilai pendekatan (aproksimasi).

Dengan definisi pada persamaan , kesalahan dapat bernilai positif dan dapat pula bernilai negatif. Kesalahan akan bernilai negatif apabila nilai pengukuran lebih besar dari nilai sebenarnya.

Untuk memperjelas pengertian dan pemahaman terhadap definisi di atas, lihat contoh berikut ini.

Contoh 1:

Pada kasus pengukuran jalan tol dan panjang kertas A4 di atas, kesalahan dapat ditabelkan seperti berikut ini.

Pengukuran

Panjang Sebenarnya

xt

Hasil Pengukuran

xa

Kesalahan

et

Panjang Jalan Tol

10.000 m

9.950 m

5.000 cm

Panjang Kertas A4

29,7 cm

29 cm

0,7 cm

Kesalahan pada pengukuran jalan tol (5.000 cm) jauh lebih besar jika dibandingkan dengan kesalahan pada pengukuran panjang kertas A4 (0,7 cm). Namun demikian kesalahan pengukuran pada jalan tol tersebut lebih bisa diterima, karena kalau dibandingkan dengan nilai sebenarnya kesalahan tersebut hanya sebesar 10.000 m dibagi 50 m atau sebesar 0,005. Sedangkan kesalahan pengukuran panjang kertas A4 dibandingkan dengan nilai sebenarnya adalah 29,7 cm dibagi 0,7 cm adalah 0,02357.

Oleh karena itu, dibuat suatu definisi tentang kesalahan relatif dan prosentase kesalahan relatif seperti berikut ini.

Definisi 2:

Kealahan relatif (relatif error) didefinisikan sebagai kesalahan dibagi dengan nilai sebenarnya, atau

Secara simbolik dinyatakan dengan:

Dengan er merupakan kesalahan relatif, et adalah nilai kesalahan dan xt adalah nilai sebenarnya.

Definisi 3:

Prosentase kesalahan relatif didefinisikan sebagai kesalahan relatif dikalikan 100%, atau

Dengan per merupakan prosentase kesalahan relatif, et adalah nilai kesalahan dan xt adalah nilai sebenarnya.

Contoh 2:

Pada kasus pengukuran jalan tol dan panjang kertas A4 di atas, kesalahan dapat ditabelkan seperti berikut ini.

Pengukuran

xt

xa

et

er

per

Panjang Jalan Tol

10.000 m

9.950 m

5.000 cm

0,005

0,5%

Panjang Kertas A4

29,7 cm

29 cm

0,7 cm

0,02357

2%

Jadi kesalahan relatif pada pengukuran panjang jalan tol lebih kecil dari kesalahan relatif pada pengukuran panjang kertas A4.

Pada pembahasan kesalahan di atas, nilai sebenarnya telah diketahui. Namun demikian pada sebagian besar permasalahan pengukuran nilai sebenarnya ini belum diketahui. Jika nilai sebenarnya tidak atau belum diketahui, maka rumusan persamaan sampai dengan persamaan tidak dapat digunakan. Untuk itu diperlukan adanya suatu rumusan lain yang dapat dipakai untuk memperkirakan seberapa besar kesalahan dari suatu pengukuran.

Misal seseorang melakukan pengukuran terhadap lebar dari meja, lebar meja yang sebenarnya tidak diketahui. Pada saat melakukan pengukuran terbaca 75 cm. Ini bukan berarti lebar meja yang sebenarnya adalah 75 cm. Hanya pada alat ukur terbaca lebih dekat ke 75 cm dari pada ke 74 cm atau ke 76 cm. Bisa dikatakan bahwa lebar meja tersebut diantara 74.5 cm dan 76.5 cm. Artinya kesalahan pengukuran yang masih dapat diterima adalah 0,5 cm. Secara tidak formal, nilai 76,5 cm dikatakan sebagai batas atas pengukuran (nilai ukuran terbesar), nilai 74,5 cm merupakan batas bawah pengukuran (nilai ukuran terkecil), dan nilai 0,5 cm sebagai kesalahan mutlak pengukuran. Rentang batas atas dan batas bawah ini dinamakan sebagai satuan pengukuran terkecil.

Selanjutnya akan dibahas beberapa definisi kesalahan yang terkait dengan pengukuran terhadap objek yang nilai sebenarnya tidak diketahui.

Definisi 4:

Satuan pengukuran terkecil adalah tingkat ketelitian dalam pengukuran.

Contoh 3:

Dalam pengukuran lebar meja, digunakan satuan pengukuran cm. Hasil pengukuran lebar meja adalah 75 cm. Dalam pengukuran ini mempunyai satuan pengukuran terkecil 1 cm.

Contoh 4:

Dalam pengukuran lebar jalan, digunakan satuan pengukuran m. Hasil pengukuran lebar jalan adalah 7,5 m. Dalam pengukuran ini mempunyai satuan pengukuran terkecil 0,1 m.

Contoh 5:

Dalam pengukuran luas dasar kolam bentuk persegi panjang, digunakan satuan pengukuran m2. Hasil pengukuran luas tersebut adalah adalah 45,50 m2. Dalam pengukuran ini mempunyai satuan pengukuran terkecil 0,01 m2.

Contoh 6:

Dalam pengukuran volume air di dalam tandon bentuk tabung, digunakan satuan pengukuran m3. Hasil pengukuran volume air tersebut adalah adalah 1,5 m3. Dalam pengukuran ini mempunyai satuan pengukuran terkecil 0,1 m3.

Definisi 5:

Salah mutlak dalam suatu pengukuran adalah setengah kali satuan pengukuran terkecil, atau

Secara simbolik dinyatakan dengan:

Dengan SM merupakan salah mutlak, u adalah satuan ukuran terkecil.

Dengan definisi pada persamaan , salah mutlak selalu bernilai positif. Untuk memperjelas pengertian dan pemahaman terhadap definisi di atas, lihat contoh berikut ini.

Contoh 7:

Seseorang melakukan pengukuran lebar sungai. Hasil pengukuran tercatat 3,5 m. Tentukan salah mutlak dari pengukuran tersebut.

Penyelesaian:

Satuan pengukuran terkecil dari hasil pengukuran tersebut adalah u=0,1 m.

Dengan menggunakan definisi , salah mutlak pengukuran adalah

Contoh 8:

Suatu produk air minum kemasan dalam botol, tertulis isi 0,75 liter. Tentukan salah mutlak dari isi kemasan air minum tersebut.

Penyelesaian:

Satuan pengukuran terkecil dari hasil pengukuran tersebut adalah u=0,01 liter.

Dengan menggunakan definisi , salah mutlak pengukuran adalah .

Contoh 9:

Wijaya melakukan pengukuran luas ruangan dan hasil pengukuran tercatat 20,25 m2. Alex si tukang keramik mengatakan luas keramik ini adalah 400,00 cm2. Tentukan salah mutlak dari pengukuran yang dilakukan Wijaya dan Alex tersebut.

Penyelesaian:

· Hasil pengukuran Wijaya adalah 20,25 m2. Dengan menggunakan definisi , salah mutlak pengukuran Wijaya adalah . Atau dalam ukuran cm2 menjadi

· Hasil pengukuran Alex adalah 400,00 cm2. Dengan menggunakan definisi , salah mutlak pengukuran Alex adalah .

Dengan hanya menggunakan definisi salah mutlak, perbandingan kesalahan dari dua pengukuran sulit untuk dibandingkan. Oleh karena itu, dibuat suatu definisi kesalahan yang merujuk pada nilai pengukurannya. Selanjutnya akan didefinisikan salah relatif dan prosentase salah relatif.

Definisi 6:

Salah relatif didefinisikan sebagai salah mutlak dibagi dengan nilai pengukuran, atau

Secara simbolik dinyatakan dengan:

Dengan SR merupakan salah relatif, SM adalah salah mutlak nilai dan xa adalah nilai pengukuran.

Definisi 7:

Prosentase salah relatif didefinisikan sebagai salah relatif dikalikan 100%, atau

Dengan per merupakan prosentase salah relatif, et adalah salah mutlak nilai dan xt adalah nilai sebenarnya.

Contoh 10:

Seseorang melakukan pengukuran lebar sungai pada contoh 7. Hasil pengukuran tercatat 3,5 m. Tentukan salah relatif dan prosentase salah relatif dari pengukuran tersebut.

Penyelesaian:

Dari contoh 7, didapat salah mutlak .

· Salah Relatif

Dengan menggunakan persamaan , didapat salah relatif sebagai berikut

· Prosentase Salah Relatif

Dengan menggunakan persamaan , didapat prosentase salah relatif sebagai berikut

Contoh 11:

Kembali ke contoh 10, Wijaya melakukan pengukuran luas ruangan dan hasil pengukuran tercatat 20,25 m2. Alex si tukang keramik mengatakan luas keramik ini adalah 400,00 cm2. Tentukan salah relatif dan prosentase salah relatif dari pengukuran yang dilakukan Wijaya dan Alex tersebut. Dari hasil perhitungan kesalahan tersebut, manakah yang lebih teliti ?, Wijaya atau Alex?.

Penyelesaian:

· Hasil pengukuran Wijaya adalah 20,25 m2. Dengan menggunakan definisi , , dan , didapat:

o Salah mutlak

o Salah relatif

o Prosentase salah relatif

· Hasil pengukuran Alex adalah 400,00 cm2. Dengan menggunakan definisi , , dan , didapat:

o Salah mutlak

o Salah relatif

o Prosentase salah relatif

Perbandingan kesalahan dari dua pengukuran Wijaya dan Alex, secara prosentase kesalahan relatifnya, pengukuran Alex mempunyai kesalahan yang jauh lebih kecil dibandingkan dengan yang dilakukan oleh wijaya.

Definisi 8:

Ukuran terbesar dari suatu pengukuran adalah nilai hasil pengukuran ditambah dengan salah mutlak dari pengukuran.

Atau

Dengan xa adalah nilai hasil pengukuran dan SM adalah salah mutlak dari pengukuran.

Definisi 9:

Ukuran terkecil dari suatu pengukuran adalah nilai hasil pengukuran dikurangi dengan salah mutlak dari pengukuran.

Atau

Dengan xa adalah nilai hasil pengukuran dan SM adalah salah mutlak dari pengukuran.

Contoh 12:

Panjang dari lapangan sepak bola adalah 100 m. Tentukan ukuran terbesar dan ukuran terkecil dari pengukuran tersebut.

Penyelesaian:

· Satuan pengukuran terkecil dari pengukuran adalah u = 1 m.

· Salah mutlak dari pengukuran isi air adalah

· Ukuran terbesar pengukuran adalah

· Ukuran terkecil pengukuran adalah

Contoh 13:

Misal nilai hasil pengukuran isi air dalam botol adalah 1,5 liter. Tentukan ukuran terbesar dan ukuran terkecil dari pengukuran tersebut.

Penyelesaian:

· Satuan pengukuran terkecil dari pengukuran adalah u = 0,1 liter.

· Salah mutlak dari pengukuran isi air adalah

· Ukuran terbesar pengukuran adalah

· Ukuran terkecil pengukuran adalah

Definisi 10:

Toleransi kesalahan pengukuran adalah selisih antara ukuran terbesar dengan

ukuran terkecil dari pengukuran.

Atau

Teorema 1:

Tolerasi kesalahan sama dengan dua kali salah mutlak.

Bukti:

Berdasarkan Definisi 8, Definisi 9, dan Definisi10 dapat diturunkan :

Jadi toleransi kesalahan dapat dicari dengan mengalikan salah mutlak dengan 2.

Contoh 14:

Misal nilai hasil pengukuran isi air dalam botol adalah 1,5 liter. Tentukan toleransi kesalahan pengukuran tersebut.

Penyelesaian:

Dari contoh 13 didapat:

· Salah mutlak dari pengukuran isi air adalah

· Ukuran terbesar pengukuran adalah

· Ukuran terkecil pengukuran adalah

Dengan menggunakan persamaan , didapat nilai toleransi kesalahan:

Atau dengan menggunakan persamaan , didapat nilai toleransi kesalahan:

Toleransi kesalahan = 2 SM = 2 (0,05 liter)= 0,1 liter.

Teorema 2:

Jika xa menyatakan nilai hasil pengukuran, maka ukuran terbesar dari pengukuran tersebut sama dengan nilai hasil pengukuran ditambah setengah kali toleransi kesalahan.

Bukti:

Berdasarkan persamaan dan didapat :

Teorema 3:

Jika xa menyatakan nilai hasil pengukuran, maka ukuran terkecil dari pengukuran tersebut sama dengan nilai hasil pengukuran dikurangi dua kali toleransi kesalahan.

Bukti:

Berdasarkan persamaan dan didapat :

Dalam pernyataan ukuran sebagai ukuran standarisasi, penulisan ukuran standar tersebut biasa dinyatakan dalam bentuk:

Contoh 15:

Pada suatu pengukuran, didapat ukuran terbesar yang dapat diterima 12,4 mm dan ukuran terkecil yang dapat diterima adalah 11,8 mm. Tentukan toleransi kesalahan pengukuran.

Penyelesaian:

Toleransi kesalahan = Ukuran terbesar – ukuran terkecil

= 12,4 mm – 11,8 mm

= 0,6 mm

Contoh 16:

Ukuran standar baut diameter 10 mm mempunyai tolerasi kesalahan 0,2 mm. Ukuran standar diameter baut tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk (10 + 0,1) mm. Jika ada suatu perusahaan yang akan memproduksi baut yang memenuhi ukuran standar tersebut, maka berapakah ukuran terbesar dan ukuran terkecil yang diperbolehkan agar memenuhi standar tersebut?

Penyelesaian:

· Ukuran terbesar diameter baut yang diperbolehkan adalah:

· Ukuran terkecil diameter baut yang diperbolehkan adalah:


Latihan

1. Suatu produk kertas ukuran F4, tertulis berat dari kertas adalah 80 gsm. Setelah dilakukan penimbangan didapat hasil 79,75 gsm. Tentukan kesalahan, kesalahan relatif, dan prosentase kesalahan relatif dari berat kertas tersebut.

2. Diketahui bahwa lebar dari kertas A4 adalah 21 cm dan panjangnya adalah 29,7 cm. Atau diketahui ukuran kertas A4 adalah 21 x 29,7 cm. Andi mengambil selembar kertas A4 dari sebuah produk dan melakukan pengukuran lebar kertas tersebut adalah 20,8 cm dan pengukuran panjangnya didapat 29,5 cm. Tentukan kesalahan, kesalahan relatif, dan prosentase kesalahan relatif dari

a. Ukuran lebar dari kertas A4 yang diukur oleh Andi tersebut.

b. Ukuran panjang dari kertas A4 yang diukur oleh Andi tersebut.

c. Ukuran luas dari kertas A4 yang diukur oleh Andi tersebut.

3. Seperti pada contoh nomor 2, cobalah anda lakukan pengukuran sendiri dan kemudian tentukan kesalahan, kesahan relatif, dan prosentase kesalahan relatif dari hasil pengukuran anda.

4. Sebuah produk rokok menginginkan produknya mempunyai kandungan 14 MG Tar dan 1,0 MG Nicotine. Nilai kandungan ini dituliskan pada bungkus rokok. Bagian uji kualitas dari perusahan tersebut mengambil sebuah sample produk dan melakukan pengujian kandungan Tar dan Nicotine. Hasil pengujian didapat 14,5 MG Tar dan 1,45 MG Nicotine. Berapakah nilai kesalahan, kesalahan relatif, dan prosentase kesalahan relatif dari produk tersebut.

5. Sebuah produk minuman ringan dalam kaleng mencantukan isi bersih dari minumannya adalah 330 ml. Balai Pengawas Obat dan Makanan (POM) melakukan pengujian, mengambil sebuah produk dan menuangkan dalam sebuah gelas ukur. Hasil pengukuran isi dari minuman kaleng tersebut adalah 315 ml. Tentukan kesalahan, kesalahan relatif, dan prosentase kesalahan relatif dari ukuran isi tersebut.

6. Seorang pramuniaga dari mini market, menimbang anggur yang dipilih oleh seorang pembeli. Hasil dari penimbangan tersebut adalah 0,75 Kg. Tentukan satuan ukuran terkecil, salah mutlak, salah relatif, prosentase salah relatif dari hasil penimbangan yang dilakukan oleh pramuniaga tersebut.

7. Dalam laga formula satu (F1), Michael Schummacer memasuki pitch. Timnya melakukan penggantian roda dengan catatan waktu 6,9 detik. Tentukan satuan ukuran terkecil, salah mutlak, salah relatif, prosentase salah relatif dari waktu pencatatan penggantian roda oleh Tim tersebut.

8. Besaran bilangan – bilangan berikut ini didapatkan dari hasil pengukuran.

a. 176 Ha

b. 19,5 gallon

c. 6,95 detik

d. 5,751 ton

e. 10.000 m3/hari

Tentukan satuan ukuran terkecil, salah mutlak, salah relatif, prosentase salah relatif dari pengukuran di atas.

9. Besaran bilangan – bilangan berikut ini didapatkan dari hasil pengukuran.

a. 176 Ha

b. 19,5 gallon

c. 6,95 detik

d. 5,751 ton

e. 10.000 m3/hari

Tentukan ukuran terbesar dan ukuran terkecil dari pengukuran di atas.

10. Berikut ini merupakan pernyatan standar pengukuran. Tentukan nilai pengukuran terbesar dan nilai pengukuran terkecil yang dapat diterima, dan tentukan juga toleransi kesalahannya.

a. (6,22 + 0,12) cm.

b. (4,1 + 0,5) detik.

c. (50,0 + 0,1) gr.

d. (100,536 + 0,123) mm.

e. (2,5 + 0,01) ton.


3 Operasi Hasil Pengukuran

Pada bagian sebelumnya telah dibahas tentang pengukuran, kesalahan, dan toleransi kesalahan. Sebuah objek hasil pengukuran dapat dinyatakan sebagai kesatuan hasil pengukuran dan toleransinya. Pada bagian ini, akan dibahas tentang bagaimana kita mengoperasikan objek hasil pengukuran tersebut. Operasi yang akan dibahas disini adalah operasi penjumlahan, penjumlhan maksimal, selisih minimal, dan perkalian.

3.1 Jumlah hasil pengukuran

Pada sub bagian ini akan membahas beberapa operator jumlah terhadap nilai hasil pengukuran. Operator jumlah ini terdiri dari jumlah maksimum, jumlah minimum, selisih maksimum, dan selisih minimum.

Definisi 1:

Untuk hasil pengukuran a dan b, Jika c = a+b maka salah mutlak dari c didefinisikan sebagai jumlahan antara salah mutlak dari a dan salah mutlak dari b.

Atau:

Salah mutlak c = Salah mutlak a + Salah mutlak b

Untuk memperjelas definisi diatas, perhatikan beberapa contoh berikut ini.

Contoh 1:

Dalam suatu pengukuran panjang dua buah benda, hasil pengukuran didapat 22,5 m dan 38,7 m. Tentukan salah mutlak dari jumlah hasil dua pengukuran tersebut.

Penyelesaian:

Hasil pengukuran pertama adalah a= 22,5 m, salah mutlak dari a adalah 0,05 m.

Hasil pengukuran kedua adalah b= 38,7 m, salah mutlak dari b adalah 0,05 m.

Misal jumlah dari a dan b adalah c, maka:

Salah mutlak c = Salah mutlak a + Salah mutlak b

= 0,05 m + 0,05 m

= 0,1 m

Definisi 2:

Untuk hasil pengukuran a dan b, Jika c = a-b maka salah mutlak dari c didefinisikan sebagai jumlahan antara salah mutlak dari a dan salah mutlak dari b.

Atau:

Salah mutlak c = Salah mutlak a + Salah mutlak b

Untuk memperjelas definisi diatas, perhatikan beberapa contoh berikut ini.

Contoh 2:

Dalam suatu pengukuran panjang dua buah benda, hasil pengukuran didapat 22,5 m dan 48,7 m. Tentukan salah mutlak dari selisih hasil dua pengukuran tersebut.

Penyelesaian:

Hasil pengukuran pertama adalah a= 22,5 m, salah mutlak dari a adalah 0,05 m.

Hasil pengukuran kedua adalah b= 48,7 m, salah mutlak dari b adalah 0,05 m.

Misal selisih dari a dan b adalah c, maka:

Salah mutlak c = Salah mutlak a + Salah mutlak b

= 0,05 m + 0,05 m

= 0,1 m

Definisi 3:

Jumlah maksimum dua buah pengukuran a dan b didefinisikan sebagai jumlah dari jumlah antara pengukuran a dengan pengukuran b dengan salah mutlak jumlah pengukuran a dengan pengukuran b.

Atau:

c = a + b + Salah mutlak c

Dengan c adalah jumlah maksimum dua buah pengukuran a dan b.

Contoh 3:

Dalam suatu pengukuran panjang dua buah benda, hasil pengukuran didapat 22,5 m dan 48,7 m. Tentukan jumlah maksimum dari hasil dua pengukuran tersebut.

Penyelesaian:

Dari Contoh 1, salah mutlak dari jumlah dua pengukuran 22,5 m dan 48,7 m adalah 0,1 m.

Misal c adalah jumlah maksimum dua buah pengukuran a dan b, maka hasil jumlah maksimum antara a dan b adalah:

c = (22,5 m + 48,7 m) + Salah mutlak c

= 71,2 m + 0,1 m

= 71,3 m

Definisi 4:

Jumlah minimum dua buah pengukuran a dan b didefinisikan sebagai selisih jumlah dari jumlah antara pengukuran a dengan pengukuran b dengan salah mutlak dari jumlah pengukuran a dengan pengukuran b.

Atau:

c = a + b - Salah mutlak c

Dengan c adalah jumlah maksimum dua buah pengukuran a dan b.

Contoh 4:

Dalam suatu pengukuran panjang dua buah benda, hasil pengukuran didapat 22,5 m dan 48,7 m. Tentukan jumlah minimum dari hasil dua pengukuran tersebut.

Penyelesaian:

Dari Contoh 1, salah mutlak dari jumlah dua pengukuran 22,5 m dan 48,7 m adalah 0,1 m.

Misal c adalah jumlah maksimum dua buah pengukuran a dan b, maka hasil jumlah maksimum antara a dan b adalah:

c = (22,5 m + 48,7 m) - Salah mutlak c

= 71,2 m - 0,1 m

= 71,1 m

Definisi 4:

Selisih maksimum dua buah pengukuran a dan b didefinisikan sebagai jumlah dari selisih antara pengukuran a dengan pengukuran b dengan salah mutlak jumlah pengukuran a dengan pengukuran b.

Atau:

c = a - b + Salah mutlak c

Dengan c adalah selisih maksimum dua buah pengukuran a dan b.

Contoh 5:

Dalam suatu pengukuran panjang dua buah benda, hasil pengukuran didapat 22,5 m dan 48,7 m. Tentukan selisih maksimum dari hasil dua pengukuran tersebut.

Penyelesaian:

Dari Contoh 1, salah mutlak dari jumlah dua pengukuran 22,5 m dan 48,7 m adalah 0,1 m.

Misal c adalah jumlah maksimum dua buah pengukuran a dan b, maka hasil jumlah maksimum antara a dan b adalah:

c = (22,5 m - 48,7 m) + Salah mutlak c

= -26,2 m + 0,1 m = -26,1 m

Definisi 4:

Selisih minimum dua buah pengukuran a dan b didefinisikan sebagai selisih dari selisih antara pengukuran a dengan pengukuran b dengan salah mutlak dari jumlah pengukuran a dengan pengukuran b.

Atau:

c = a - b - Salah mutlak c

Dengan c adalah selisih minimum dua buah pengukuran a dan b.

Contoh 6:

Dalam suatu pengukuran panjang dua buah benda, hasil pengukuran didapat 22,5 m dan 48,7 m. Tentukan selisih minimum dari hasil dua pengukuran tersebut.

Penyelesaian:

Dari Contoh 1, salah mutlak dari jumlah dua pengukuran 22,5 m dan 48,7 m adalah 0,1 m.

Misal c adalah selisih minimum dua buah pengukuran a dan b, maka hasil selisih minimum antara a dan b adalah:

c = (22,5 m - 48,7 m) - Salah mutlak c

= -26,2 m - 0,1 m

= -26,3 m

3.2 Perkalian hasil pengukuran

Pada sub bagian ini akan membahas beberapa operator perkalian terhadap nilai hasil pengukuran. Operator perkalian ini terdiri dari perkalian maksimum dan perkalian minimum.

Definisi 5:

Perkalian maksimum dua buah pengukuran a dan b didefinisikan sebagai hasil kali dari ukuran terbesar a dengan ukuran terbesar b.

Atau:

c = (ukuran terbesar a) x (ukuran terbesar b)

Dengan c adalah perkalian maksimum antara dua buah pengukuran a dan b.

Contoh 7:

Dalam suatu pengukuran panjang dua buah benda, hasil pengukuran didapat 22,5 m dan 48,7 m. Tentukan perkalian maksimum dari hasil dua pengukuran tersebut.

Penyelesaian:

Hasil pengukuran pertama adalah a= 22,5 m, salah mutlak dari a adalah 0,05 m.

Hasil pengukuran kedua adalah b= 38,7 m, salah mutlak dari b adalah 0,05 m.

Ukuran terbesar a = 22,5 m + 0,05 m = 22,55 m.

Ukuran terbesar b = 48,7 m + 0,05 m = 48,75 m.

Misal c adalah perkalian maksimum dua buah pengukuran a dan b, maka hasil perkalian maksimum antara a dan b adalah:

c = (ukuran terbesar a) x (ukuran terbesar b)

= 22,55 m x 48,75 m

= 1099,313 m2.

Definisi 6:

Perkalian minimum dua buah pengukuran a dan b didefinisikan sebagai hasil kali dari ukuran terkecil a dengan ukuran terkecil b.

Atau:

c = (ukuran terkecil a) x (ukuran tekecil b)

Dengan c adalah perkalian minimum antara dua buah pengukuran a dan b.

Contoh 7:

Dalam suatu pengukuran panjang dua buah benda, hasil pengukuran didapat 22,5 m dan 48,7 m. Tentukan perkalian minimum dari hasil dua pengukuran tersebut.

Penyelesaian:

Hasil pengukuran pertama adalah a= 22,5 m, salah mutlak dari a adalah 0,05 m.

Hasil pengukuran kedua adalah b= 38,7 m, salah mutlak dari b adalah 0,05 m.

Ukuran terkecil a = 22,5 m - 0,05 m = 22,45 m.

Ukuran terkecil b = 48,7 m - 0,05 m = 48,65 m.

Misal c adalah perkalian minimum dua buah pengukuran a dan b, maka hasil perkalian minimum antara a dan b adalah:

c = (ukuran terkecil a) x (ukuran terkecil b)

= 22,45 m x 48,65 m

= 1092,193 m2.


Latihan

1. Hasil dua penimbangan berat Anggur masing-masing adalah 2,50 kg dan 3,25 kg. Tentukan:

a. Jumlah maksimum dari dua pengukuran tersebut.

b. Jumlah minimum dari dua pengukuran tersebut.

c. Selisih maksimum dari dua pengukuran tersebut.

d. Selisih minimum dari dua pengukuran tersebut.

e. Perkalian maksimum dari pengukuran tersebut.

f. Perkalian minimum dari dua pengukuran tersebut.

2. Andi mengambil selembar kertas A4 dari sebuah produk dan melakukan pengukuran lebar kertas tersebut adalah 20,8 cm dan pengukuran panjangnya didapat 29,5 cm. Tentukan panjang setengah keliling maksimum dan Tentukan panjang setengah keliling minimum dari kertas tersebut.

3. Andi mengambil selembar kertas A4 dari sebuah produk dan melakukan pengukuran lebar kertas tersebut adalah 20,8 cm dan pengukuran panjangnya didapat 29,5 cm. Tentukan luas maksimum dan luas minimum dari kertas tersebut.

4. Sebuah produk minuman ringan dalam kaleng yang berbentuk tabung. Balai Pengawas Obat dan Makanan (POM) melakukan pengujiann tinggi kaleng. volume, mengambil sebuah produk dan mengukur diameter kaleng tinggi kaleng. Tentukan volume maksimum dan volume minimum dari kaleng tersebut.

5. Seorang pramuniaga dari mini market, menimbang anggur yang dipilih oleh seorang pembeli. Hasil dari penimbangan tersebut adalah 0,75 Kg. Kemudian pembeli tersebut mengambil anggur lagi dan pramuniaga melakukan penimbangan yang ke dua di dapat hasil 2,50 Kg. Tentukan:

a. Jumlah maksimum dari bobot anggur yang dibeli tersebut.

b. Jumlah minimum dari bobot anggur yang dibeli tersebut.

c. Selisih maksimum dari bobot anggur yang dibeli tersebut.

d. Selisih minimum dari bobot anggur yang dibeli tersebut.

6. Dalam laga formula satu (F1), Michael Schummacer memasuki pitch sebanyak tiga kali. Timnya melakukan penggantian roda dengan catatan waktu 6,9 detik pada pitch pertama, 7,0 detik pada pitch kedua, dan 6,5 detik pada pitch ke tiga. Tentukan:

a. Jumlah maksimum dari waktu yang dipakai oleh Schummacer untuk memasuki pitch.

b. Jumlah minimum dari waktu yang dipakai oleh Schummacer untuk memasuki pitch.

c. Selisih maksimum dari waktu yang dipakai oleh Schummacer untuk memasuki pitch.

d. Selisih minimum dari waktu yang dipakai oleh Schummacer untuk memasuki pitch.

No comments:

Post a Comment