Teori Peluang; Pengertian Dasar

Hitung peluang mula-mula dikenal pada abad ke-17 yang bermula dari permainan sebuah dadu yang dilempar. Peluang (kemungkinan, probability) dari permukaan dadu yang tampak ketika dilempar, diamati dan dihitung, perhitungan sejenis ini berkembang cukup pesat menjadi teori peluang yang banyak pemakaiannya dalam kehidupan sehari-hari. Dalam berpergian kita sering mempertanyakan apakah terjadi hujan hari ini. Dalam berdagang kita selalu berfikir tentang kemungkinan untuk mengambil keuntungan. Masih banyak contoh lagi yang berkaitan dengan peluang.

Dalam bab ini siswa akan belajar tentang kaidah pencacahan, permutasi, kombinasi, peluang kejadian, dan pemakaiannya dalam menyelesaikan permasalahan.

Pengertian Dasar

Ruang Sampel adalah himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan, biasanya dilambangkan dengan S. Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel. Kejadian dapat terdiri dari satu titik sampel yang disebut kejadian sederhana, sedangkan kejadian yang terdiri dari lebih dari titik sampel disebut kejadian majemuk. Jadi kejadian majemuk merupakan gabungan dari beberapa kejadian sederhana. Ruang nol adalah himpunan bagian ruang sampel yang tidak memuat anggota. Elemen / anggota dari ruang sampel dinamakan titik sampel.

Gambar 1 merupakan diagram ruang sampel S={a, b, c, d, e, f, g} yang terdiri dari titik sampel a, b, c, d, e, f, dan g. Kejadian A={a, b, c}, kejadian B={b, c, d, e}, kejadian C={c, d, f}, dan D={e} merupakan kejadian bagian dari ruang sampel S.

Gambar 1. Ruang Sampel

Irisan dua kejadian
A dan B, dinotasikan dengan A N B, adalah kejadian yang memuat semua titik sampel yang ada di A dan juga ada di B. Dua kejadian A dan B dikatakan kejadian saling terpisah (saling asing) apabila dua kejadian tersebut tidak memiliki unsur persekutuan, atau A N B = { }. Untuk ruang sampel pada Gambar 1.1.1, A N B = {b, c}, A N C = {c}, A N D = { }, B N C = {c, d}, B N D = {e}, dan C N D = { }. Kejadian A dan D dikatakan saling terpisah.

Gabungan dua kejadian
A dan B, dinotasikan dengan A U B , adalah kejadian yang memuat semua titik sampel yang ada di A atau B. Untuk ruang sampel pada Gambar 1.1.1, A U B = {a, b, c, d, e}, A U C = {a, b, c, d, f}, A U D = {a, b, c, e}, B U C = {b, c, d, e, f}, B U D = {b, c, d, e}, dan C U D = {c, d, e, f}.

Komplemen suatu kejadian
A, dinotasikan dengan A', adalah himpunan semua titik sampel di S yang bukan anggota A. Untuk ruang sampel pada Gambar 1.1.1, A' = {d, e, f, g} dan B' = {a, f, g} .

Contoh 1.1.1

Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, kemungkinan hasil percobaannya adalah:

• Jika ditinjau dari angka yang muncul maka ruang sampelnya adalah
  

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Elemen 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 merupakan titik sampel.

• Jika ditinjau dari keadaan angkanya maka ruang sampelnya adalah
  

S = {genap, gasal}

Elemen genap atau gasal merupakan titik sampel.

Contoh 1.1.2

Pada percobaan pengambilan sebuah kartu bridge, kemungkinan hasil percobaannya adalah

• Jika ditinjau dari jenis kartu maka ruang sampelnya adalah

S = {♠, ♣, ♥, ♦}

• Jika ditinjau dari warna kartu maka ruang sampelnya adalah

S = { merah, hitam }

Contoh 1.1.3

Percobaan pelemparan 2 buah mata dadu, ruang sampel-nya adalah

S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),

(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),

(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),

(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),

(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),

(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

Jika A adalah kejadian munculnya dadu dengan jumlah mata dadu sama dengan 1 maka A = { }, kejadian mustahil.

Jika B adalah kejadian munculnya dadu dengan jumlah mata dadu sama dengan 7 maka B = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}.

Jika C adalah kejadian munculnya dadu dengan jumlah mata dadu sama dengan 11 maka C = {(5,6), (6,5)}.

Jika D adalah kejadian munculnya mata dadu pertama adalah 5 maka

D = {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)}.

Irisan kejadian A dan B adalah A N B = {}.

Irisan kejadian B dan C adalah B N C = {}.

Irisan kejadian C dan D adalah C N D = {(5, 6)}.

Gabungan kejadian A dan B adalah A U B = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} = B.

Gabungan kejadian B dan C adalah B U C = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), (5,6), (6,5)}.

Gabungan kejadian C dan D adalah C U D = {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,5)}.

Kaidah Pencacahan

Untuk menentukan jumlah titik sampel yang ada dalam ruang sampel diperlukan prinsip dasar menghitung, diantaranya kaidah penjumlahan, kaidah perkalian, permutasi dan kombinasi. Dalam menghitung banyaknya elemen ruang sampel dikenal dua prinsip penghitungan dasar (basic counting principles), yaitu: Kaidah Perkalian (Rule of Product) dan Kaidah Penjumlahan (Rule of Sum).

Kaidah Perkalian

Sebelum menuju ke kaidah perkalian kita awali dengan pengamatan percobaan sederhana. Sebuah diagram pohon dapat digunakan dalam perhitungan ruang sampel. Misalnya pada percobaan 2 kali pelemparan sebuah mata uang. Himpunan hasil yang mungkin dapat diperoleh oleh seluruh garis yang ditunjukkan dalam diagram pohon berikut.

Gambar 1.2.1 Diagram pohon untuk dua kali lemparan mata uang

Dalam setiap percobaan ada 2 kemungkinan hasil angka (A) atau gambar (G). Percobaan dengan 2 kali pelemparan mata uang didapat hasil sebanyak 2² = 4 buah titik sampel. Jadi ruang sampel S = {GG, GA, AG, AA}.

Contoh 1.2.1

Jika dari kota A menuju kota B ada 3 jalan yaitu jalur p, q, atau r sedangkan dari kota B ke kota C ada 2 jalan yaitu jalur a atau b maka dari kota A ke kota C dapat ditempuh melalui 3 x 2 jalur yang berbeda, yaitu:

S = { (p ,a), (p ,b), (q ,a), (q ,b), (r ,a), (r ,b) }

Selanjutnya akan kita pelajari suatu kaidah yang berkaitan dengan percobaan seperti contoh di atas.

Dalam melakukan dua percobaan, kaidah perkalian mengatakan bahwa:

Jika satu percobaan memiliki m hasil yang mungkin dan percobaan yang lain memiliki n hasil yang mungkin, maka jika dua percobaan tersebut dilakukan bersamaan memiliki mn hasil yang mungkin.

Secara umum, dikatakan bahwa:

Misalkan r percobaan dapat dilakukan. Jika percobaan ke-i memiliki n_i hasil yang mung-kin, 1ir, maka jika semua percobaan itu dilakukan bersamaan memiliki n₁, n₂, n₃, ..., n_r hasil yang mungkin.

Contoh 1.2.2

Sebuah komite yang terdiri atas 2 orang masing-masing mewakili siswa kelas 1 dan kelas 2 akan dipilih. Jika calon dari kelas 1 ada 6 orang dan calon dari kelas 2 ada 4 orang, maka ada 6 × 4 = 24 komite berbeda yang dapat dipilih.

Contoh 1.2.3

Bila sepasang dadu dilemparkan sekali, berapa banyak titik sampel dalam ruang sampelnya ?.

Penyelesaian :

Jika sepasang dadu dilemparkan satu kali maka dadu pertama akan muncul 6 cara sedangkan dadu kedua .akan muncul 6 cara juga

Dengan demikian, sepasang dadu tersebut dapat terjadi dalam 6 × 6 = 36 cara.

Contoh 1.2.4

Sebuah dadu dan sebuah uang logam dilempar secara bersamaan, hasil yang mungkin adalah:

• Untuk dadu; jika hasil dari lemparan mata dadu adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, maka ada 6 hasil yang mungkin,
  
• Untuk uang logam; jika hasil lemparan uang logam ada gambar dan angka, maka ada 2 hasil yang mungkin.
  

Sehingga dengan kaidah perkalian diperoleh banyaknya elemen dari ruang sampel ada 6 × 2 = 12 hasil yang mungkin.

Contoh 1.2.5

Diketahui empat angka 1, 3, 4, 9 tentukan banyaknya bilangan yang dapat dibuat dari angka tersebut yang terdiri dari

a. 2 angka / digit.
b. 2 angka tetapi tidak boleh ada angka yang sama.

Penyelesaian :

a. Untuk mempermudah sediakan dua kotak yang akan diisi jumlah kemungkinan tiap kotak, yaitu kotak pertama untuk letak angka puluhan dan kotak kedua untuk angka satuan.

Gambar 1.2.2 Menyusun dua angka pada deretan dua kotak

Kotak pertama ada 4 kemungkinan angka. Kotak kedua ada 4 kemungkinan, karena angka yang muncul di kotak pertama boleh muncul di kotak kedua. Jadi banyaknya bilangan yang dimaksud adalah 4 × 4 = 16.

b. Dengan cara yang sama dengan penyelesaian soal 1, tetapi karena tidak boleh sama angkanya maka kalau angka puluhan sudah muncul kemungkinan angka satuannya berkurang satu dan jumlah kemungkinannya adalah 4 × 3 = 12.

Kaidah Penjumlahan

Dalam melakukan dua percobaan, kaidah penjumlahan mengatakan bahwa:

Jika satu percobaan memiliki m hasil yang mungkin dan percobaan yang lain memiliki n hasil yang mungkin, maka ada m+n hasil yang mungkin jika tepat satu percobaan dilakukan.

Secara umum, dikatakan bahwa:

Misalkan r percobaan dapat dilakukan. Jika percobaan ke-i memiliki n_i hasil yang mungkin, maka ada n₁+n₂+n₃+…+n_r hasil yang mungkin jika tepat satu percobaan dilakukan.

Contoh 1.2.6

Sebuah bola diambil dari sebuah mangkuk yang berisi 4 bola merah dan dari sebuah kaleng yang berisi 6 bola putih yang masing-masing bernomor. Hasil yang mungkin adalah: untuk mangkuk ada 4 hasil dan untuk kaleng ada 6 hasil. Sehingga dengan kaidah penjumlahan, hasil yang mungkin ada 4 + 6 = 10.

Contoh 1.2.7

Sebuah program komputer memiliki input yang valid berupa sederetan huruf atau angka yang disebut string. String ini hanya terdiri dari 4 huruf atau angka, atau panjang string adalah 4. Berapa banyak input untuk program tersebut yang mungkin?

Penyelesaian:

• Jika huruf atau angka dalam sebuah string boleh sama, maka: String huruf ada sebanyak : 26×26×26×26 = (26)⁴ = 456.976. String angka ada sebanyak: 10×10×10×10 = (10)⁴ = 10.000. Sehingga dengan kaidah penjumlahan, banyaknya string input adalah 456.976 + 10.000 = 466.976
  

• Jika huruf atau angka dalam sebuah string tidak boleh sama, maka: String huruf ada sebanyak : 26×25×24×23 = 358.800.
  

  String angka ada sebanyak: 10×9×8×7 = 5.840.
  

  Sehingga dengan kaidah penjumlahan, banyaknya string adalah 358.800 + 5.840 = 364.640
  

Permutasi Dan Kombinasi

Dalam pembahasan permutasi dan kombinasi, kita awali dengan suatu ekspresi yang sering dipakai dalam matematika, yaitu faktorial.

Notasi Faktorial

Hasil kali dari bilangan-bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n, yaitu

1×2×3×4 · … × (n-2) × (n-1) ×n

sering digunakan dalam matematika. Dan selanjutnya buat definisi sebagai berikut.

Definisi 1.3.1

Untuk sembarang bilangan bulat ,
n faktorial yang ditulis n!, didefinisikan sebagai:

n! = n × (n-1) × (n-2) × … ×3×2×1

Dan didefinisikan 0!=1.

Dari definisi n!, dapat dicari persamaan berikut ini.

Contoh 1.3.1

4! = 4×3×2×1 = 24.

6! = 6.5! = 6×5×4×3×2×1 = 720.

Notasi faktorial ini akan sering digunakan dalam pembahasan tentang permutasi dan kombinasi yang akan dibahas berikut ini.

Permutasi

Permutasi Tanpa Pengulangan

Permutasi berkaitan dengan pengaturan suatu susunan yang dibentuk oleh keseluruhan atau sebagian dari sekumpulan objek tanpa ada pengulangan. Susunan pada permutasi memperhatikan urutannya.

Contoh 1.3.2

Untuk mengatur 3 huruf A, B dan C secara berurutan, didapat hasil yang mungkin adalah : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, dan CBA. Masing-masing urutan ini dinamakan permutasi dari 3 obyek berbeda yaitu: A, B dan C. Jadi banyaknya permutasi dari 3 obyek berbeda ada 6.

Misal, diberikan n obyek berbeda. Banyaknya permutasi n obyek tersebut dapat dihitung sebagai berikut:

- untuk mengisi posisi urutan pertama ada n cara berbeda,

- untuk mengisi posisi urutan kedua ada n-1 cara berbeda,

- untuk mengisi posisi urutan ketiga ada n-2 cara berbeda,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

- untuk mengisi posisi urutan ke-r ada n-(r-1) cara berbeda,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

- untuk mengisi posisi urutan ke-n ada n-(n-1)=1 cara berbeda.

Sehingga dengan kaidah perkalian diperoleh banyaknya permutasi adalah

n×(n-1) ×(n-2) ×(n-3) × … × 3×2×1 = n!

Definisi 1.3.2

Suatu pengaturan susunan/urutan r objek tanpa pengulangan yang dibentuk dari n objek berbeda, dengan n lebih besar sama dengan r, dinamakan permutasi r objek dari n objek.

Banyaknya permutasi ini disimbulkan dengan P(n,r).

Jika r=n maka banyaknya permutasi n objek yang berbeda adalah P(n,n) = n!. Lihat penjelasan sebelum definisi dan definisi dari permutasi.

Contoh 1.3.3

Jika di suatu kantor ada 3 orang yang akan menduduki jabatan Kepala, Sekretaris, dan Bendahara, maka ada berapa cara dapat dibuat susunan jabtan tersebut.

Penyelesaian :

Ada 3 orang yang akan disusun urutan masing-masing sebagai Kepala, Sekretaris, dan Bendahara. Jadi ada 3 objek diambil 3 untuk dibuat suatu urutan jabatan. Oleh karena itu, susunan yang dapat dibuat ada sebanyak .

Teorema 1.3.1

Banyaknya permutasi r obyek yang diambil dari n obyek berbeda adalah

Bukti:

Setiap permutasi r obyek memuat r posisi berurutan. Untuk mengisi posisi pertama sampai posisi ke-r secara berurutan dapat dilakukan dengan : n, n-1, n-2, n-3, …, n-(r-1) cara. Sehingga untuk mengisi r posisi urutan sekaligus diperlukan:

(n)(n-1)(n-2)(n-3)…(n-(r-1)) =

=

Contoh 1.3.4

Dua kupon diambil dari 5 kupon untuk menentukan hadiah pertama dan kedua. Hitung banyaknya titik sampel dalam ruang sampelnya.

Penyelesaian :

Misal 1,2,3,4,5 menyatakan nomor kupon. Akan diambil dua nomor berbeda yang tidak boleh kembar untuk disusun / dimasukkan ke dalam sederetan kotak XY. Nomor yang ada pada kotak X adalah nomor yang mendapatkan hadiah pertama, sedangkan yang ada dalam kotak Y adalah nomor yang mendapatkan hadiah ke dua. Karena itu, permasalahan ini sama dengan permutasi 2 objek dari 5 buah objek yang berbeda. Sehingga banyak titik sampel adalah

Contoh 1.3.5

Seorang sekretaris ingin menyusun 6 buah buku laporan semesteran dan 3 buah buku laporan tahunan dalam satu rak berjajar. Setiap jenis buku laporan harus berdekatan. Berapa banyak cara sekretaris tersebut menyusun buku?.

Penyelesaian :

Disini dipunyai dua kelompok buku laporan, yaitu buku laporan semesteran dan buku laporan tahunan.

Pengaturan dua jenis buku laporan ini ada sebanyak cara.

Oleh karena setiap jenis buku laporan harus berdekatan, pengaturan pada setiap jenis buku laporan dilakukan sebagai berikut:

• Jenis buku laporan semesteran: ada 6 buah buku laporan semesteran yang berbeda dan akan ditata berderetan. Permasalahan ini sama dengan mengambil 6 buah objek dari 6 objek yang berbeda. Sehingga banyaknya pengaturan buku laporan semesteran ada sebanyak .
  
• Jenis buku laporan tahunan: ada 3 buah buku laporan tahunan yang berbeda dan akan ditata berderetan. Permasalahan ini sama dengan mengambil 3 buah objek dari 3 objek yang berbeda. Sehingga banyaknya pengaturan buku laporan tahunan ada sebanyak .
  

Karena ini merupakan tiga buah kejadian yang terjadi secara bersamaan, berlaku kaidah perkalian. Oleh karena itu, banyaknya pengaturan buku laporan tersebut ada sebanyak 27206 = 8.640 cara.

Contoh 1.3.6

Profesor Amir memiliki koleksi buku yang terdiri atas: 5 buku Matematika, 4 buku Statistika, 3 buku Fisika dan 2 buku Kimia, diatur berjajar dalam sebuah rak buku sehingga buku yang memiliki subyek sama berkumpul. Tentukan ada berapa pola pengaturan yang mungkin?.

Penyelesaian:

Silahkan dicoba untuk melakukan penghitungan sendiri. Cara menghitung mirip dengan pada contoh sebelum ini.

Permutasi Dengan Pengulangan

Permutasi dengan pengulangan merupakan permutasi r objek dari n buah objek yang tidak harus berbeda. Beda dengan sebelumnya yang n buah objeknya berbeda. Sebelum menghitung banyaknya permutasi dengan pengulangan ini, terlebih dahulu kita lihat contoh berikut ini.

Contoh 1.3.7

Tentukan ada berapa cara untuk menyusun berjajar huruf-huruf yang terdapat dalam sebuah kata "PEPPER"!

Penyelesaian:

Jika 3 huruf P dan 2 huruf E dapat dibedakan, maka ada sebanyak cara berbeda yang mungkin.

Akan tetapi, jika 3 huruf P tidak dapat dibedakan, maka 3! susunan yang dibentuk dari 3 huruf P diwakili/dihitung satu saja. Sehingga banyaknya susunan yang ada harus dibagi 3!, akibat 3 huruf P yang kembar.

Secara sama, jika 2 huruf E tidak dapat dibedakan, maka 2! susunan yang dibentuk dari 2 huruf E diwakili/dihitung satu saja. Sehingga banyaknya susunan yang ada harus dibagi lagi dengan 2!, akibat 2 huruf E yang kembar.

Jadi banyaknya cara menyusun menyusun huruf-huruf tersebut ada sebanyak

Secara umum, kasus seperti contoh di atas membawa kita kepada teorema berikut ini. Pada buku ini, teorema tersebut tidak disertai dengan bukti.

Teorema 1.3.2

Banyaknya permutasi dari n objek yang terdiri dari n₁ objek sama, n₂ objek sama, …, n_r objek sama, dengan n₁+ n₂+ n₃ + … + n_r
n, adalah

Contoh 1.3.8

Sebanyak 9 bola yang terdiri dari 4 bola berwarna merah, 3 bola berwarna kuning, dan 2 bola berwarna biru. Semua bola dimasukkan kedalam sebuah tabung kaca dan membentuk deretan bola memanjang dalam tabung kaca. Tentukan ada berapa pola warna deretan bola yang mungkin!.

Penyelesaian:

Sebagai ilustrasi, salah satu bentuk susunan bola tersebut adalah

Karena 4 bola merah, 3 bola kuning, dan 2 bola biru tak dapat dibedakan, maka ada sebanyak

pola warna susunan bola.

Contoh 1.3.9

Berapa banyak susunan yang berbeda bila ingin membuat serangkaian lampu hias untuk pohon natal dari 3 lampu merah, 4 lampu kuning, dan 2 lampu biru.

Penyelesaian :

Permasalahan ini identik dengan menyusun sederetan 9 buah objek, dengan 3 buah objek sama, 4 buah objek lainnya lagi sama, dan 2 buah objek lainnya lagi sama. Oleh karena itu, banyaknya susunan lampu hias pada pohon tersebut ada sebanyak

Contoh 1.3.10

Berapa banyak cara 7 orang dapat menginap dalam 1 kamar tripel dan 2 kamar doubel?.

Penyelesaian :

Untuk mempermudah penyelesaian, dimisalkan:

• T menyatakan kamar tripel (memuat 3 orang).
  
• D₁ menyatakan kamar doubel yang pertama (memuat 2 orang).
  
• D₂ menyatakan kamar doubel yang kedua (memuat 2 orang).
  
• Ketujuh orang tersebut diberi nama A, B, C, D, E, F, dan G.
  

Suatu kondisi:

1. Orang A, B, dan C berada dikamar T.
   
2. Orang D dan E berada di kamar D_1.
   
3. Orang F dan G berada di kamar D_2.
   

Dapat diidentikkan dengan:

1. Membagi 3 buah objek T ke orang A, B, dan C.
   
2. Membagi dua buah objek D₁ ke orang D dan E.
   
3. Membagi dua buah objek D₂ ke orang F dan G.
   

Oleh karena itu, permasalahan tersebut identik juga dengan menyusun 7 buah objek yang terdiri dari 3 objek sama, 2 objek lainnya sama, dan 2 objek lainnya lagi sama.

Sehingga banyaknya susunan 7 orang tersebut menginap ada

Permutasi Siklik

Permutasi siklik berkaitan dengan penyusunan sederetan objek yang melingkar. Sebagai gambaran adalah susunan duduk dari beberapa orang pada meja bundar. Permutasi ini juga dikenal dengan permutasi melingkar.

Sebagai ilustrasi, misal ada tiga orang A, B, dan C akan didudukan dalam meja bundar seperti Gambar 1.3.1.

(a)	(b)	(c)
Gambar 1.3.1 Permutasi siklik tiga objek

Susunan pengaturan duduk pada Gambar 1.3.1(a) dianggap sama dengan susunan pada Gambar 1.3.1 (b) dan Gambar 1.3.1 (c). Karena pada ketiga gambar tersebut, orang yang berada sebelah kiri A adalah C, dan disebelah kanan A adalah B. Atau orang yang berada pada sebelah kira dan kanan 'kita' adalah sama pada susunan gambar tersebut. Sehingga tiga buah susunan semacam ini dianggap satu.

Jika ilustrasi di atas dikembangkan untuk n buah objek yang disusun dalam deretan melingkar, maka akan ada n susunan yang sama dan harus dihitung sekali, dengan kata lain harus dibagi dengan n. Hal ini akan membawa kita pada teorema berikut ini. Bukti teorema tidak disertakan dalam buku ini.

Teorema 1.3.3

Banyaknya permutasi siklik dari n objek yang disusun dalam bentuk deretan melingkar adalah

Contoh 1.3.11

Tentukan banyaknya menempatkan 5 orang duduk melingkar pada meja bundar dengan 5 kursi.

Penyelesaian:

Ini adalah permasalahan permutasi siklis dengan 5 objek, sehingga banyaknya cara menempatkan 5 orang duduk melingkar adalah

Contoh 1.3.12

Jika kita mempunyai 7 permata dan ingin ditempatkan pada gelang, maka ada berapa kemungkinan gelang yang dapat dibuat.

Penyelesaian:

Banyak cara menempatkan permata adalah

Contoh 1.3.13

Pada suatu pertemuan keluarga, ada 5 pasang suami-istri yang akan duduk pada meja makan yang melingkar dengan 10 kursi. Berapa susunan duduk pada pertemuan makan tersebut jika setiap pasang suami istri selalu berdampingan.

Penyelesaian:

Anggaplah sepasang suami istri adalah sebuah objek, karena selalu berdampingan. Oleh karena itu, banyaknya susunan duduk untuk 5 objek melingkar adalah Akan tetapi, dari setiap pasang suami istri cara duduknya dapat ditukar, dan ini masih menjamin suami-istri duduk berdampingan.

Sehingga banyaknya cara duduk pada pertemuan makan keluarga tersebut adalah 24×2×2×2×2×2 = 768.

Kombinasi

Didalam permutasi urutan dari suatu susunan diperhatikan, misal susunan ABC dan BCA dianggap berbeda. Didalam kombinasi dua susunan tersebut dipandang sama. Sebagai gambaran, tim bola voli terdiri dari Anton, Budi, Cecep, Dede, Erik, dan Fery. Karena ini merupakan tim bola voli maka urutannya dibalik dianggap sama, atau dengan kata lain urutan tidak diperhatikan.

Suatu kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berlainan adalah suatu pilihan dari r unsur tanpa memperhatikan urutannya (r
≤ n).

Definisi 1.3.3

Suatu pengaturan susunan r objek yang dibentuk dari n objek berbeda tanpa memperhatikan urutan, dengan , dinamakan kombinasi r objek dari n objek.

Banyaknya kombinasi ini disimbulkan dengan atau .

Contoh 1.3.14

Tentukan kombinasi 3 huruf yang diambil dari 4 huruf A, B, C, dan D.

Penyelesaian:

Kombinasi tersebut adalah: ABC, ABD, ACD, dan BCD. Banyaknya kombinasi ada 4.

Pada contoh di atas, susunan ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, dan CBA dianggap sama atau dihitung satu. Sehingga kalau dalam permutasi dihitung 3!, namun didalam kombinasi susunannya dianggap sama dan dihitung satu. Oleh karena itu, banyaknya kombinasi sama dengan banyaknya permutasi dibagi dengan r! = 3!.

Hal tersebut di atas, akan membawa kepada teorema berikut ini.

Teorema 1.3.4

Untuk sembarang bilangan bulat positip n dan bilangan tak negatip r, dengan rn, banyaknya kombinasi r obyek yang diambil dari n obyek berbeda adalah

Bukti:

Jika urutan dalam r elemen diperhatikan, maka ada _nP_r hasil berbeda. Karena kombinasi tidak memperhatikan urutan, maka seluruh permutasi r elemen tertentu dalam himpunan n elemen yaitu sebanyak r! pola diwakili salah satu saja. Jadi banyaknya kombinasi adalah

Contoh 1.3.15

Sebuah tim bola voli inti diseleksi dari sebanyak 10 kandidat anggota. Berapakah banyaknya konfigurasi tim inti yang mungkin?.

Penyelesaian:

Karena dalam tim tidak dikenal urutan, masalah ini identik dengan masalah menghitung kombinasi 6 obyek yang diambil dari 10 obyek berbeda. Jadi ada sebanyak

konfigurasi tim inti.

Contoh 1.3.16

Club Catur " Harapan " akan mengirimkan 2 orang pemain catur dari 10 pemain caturnya dalam suatu turnamen catur nasional. Berapa banyak kemungkinan susunan 2 orang pemain catur yang dikirim tersebut.

Penyelesaian :

Masalah pemilihan 2 pemain catur termasuk dalam masalah kombinasi, karena tanpa memperhatikan urutan anggotanya. Sehingga untuk soal ini adalah kombinasi 2 dari 10 orang, atau

Contoh 1.3.17

Empat tim bulu tangkis ganda disusun dari sejumlah 8 pemain. Tentukan banyaknya konfigurasi yang mungkin, jika setiap pemain hanya bermain pada satu tim?.

Penyelesaian:

- Untuk memilih tim pertama ada sebanyak .

- Untuk memilih tim kedua ada

- Untuk memilih tim ketiga ada .

- Untuk memilih tim keempat ada

Jadi dengan kaidah perkalian banyaknya konfigurasi adalah

2.520

Contoh 1.3.18

Diketahui klub Tenis yang terdiri 15 putra dan 10 putri

1. tentukan banyak kemungkinan pengiriman delegasi yang terdiri dari 5 orang.
   
2. tentukan banyaknya kemungkinan pengiriman delegasi terdiri dari 3 putra dan 2 putri.
   

   Penyelesaian :
   

   1. Masalah pemilihan delegasi termasuk dalam masalah kombinasi. Karena tanpa memperhatikan urutan anggotanya, sehingga untuk soal ini identik dengan kombinasi 5 dari 25 orang, yaitu
      

      
      

1. Dalam hal ada dua pemilihan putra dan putri, untuk pemilihan putra adalah masalah kombinasi 3 unsur dari 15, yaitu
   

   
   

Sedangkan untuk pemilihan putri adalah kombinasi 2 unsur dari 10 unsur, yaitu

Banyaknya kombinasi total adalah merupakan hasil kali antara keduanya, yaitu

(455)(45) = 20.475

SOAL LATIHAN

Kerjakanlah soal-soal latihan dibawah ini.

1. Hitunglah ekspresi:
   
2. 7! c.
   
3. 5×4! d.
   
4. Hitunglah ekspresi:
   
5. c.
   
6. d.
   
7. Diketahui angka 1, 3, 5, 7, 1. Tentukan:
   
   1. Banyak bilangan terdiri dari 2 angka yang dapat dibuat dari angka tersebut.
      
   2. Banyak bilangan terdiri dari 2 angka yang dapat dibuat dari angka tersebut tetapi tidak mempunyai angka yang sama.
      
8. Diketahui angka 0, 1, 2, 4, 5, 6, 8. Tentukan:
   
   1. Banyak bilangan terdiri dari 3 angka yang dapat dibuat dari angka tersebut.
      
   2. Banyak bilangan terdiri dari 3 angka yang dapat dibuat dari angka tersebut tetapi tidak mempunyai angka yang sama.
      
   3. Banyak bilangan terdiri dari 3 angka yang dapat dibuat dari angka tersebut tetapi bernilai ganjil.
      
   4. Banyak bilangan terdiri dari 3 angka yang dapat dibuat dari angka tersebut yang habis dibagi 5.
      

1. Diketahui ada 5 baju berbeda, 4 celana panjang berbeda dan 3 dasi berbeda. Tentukan banyak kombinasi dalam memakai baju, celana dan dasi.
   

   4. Didalam suatu ruangan terdapat 10 kursi.6 pemuda dan 4 pemudi akan duduk didalam ruangan tersebut.Tentukan banyaknya posisi duduk, jika
   

a. duduknya sembarang.

b. pemuda dan pemudi duduknya selang-seling.

1. Diketahui ada 4 buku yang berbeda dalam bahasa Jepang, 5 buku berbeda dalam bahasa Inggris dan 3 buku berbeda dalam bahasa Indonesia.
   
   1. Tentukan banyak kemungkinan dalam mengambil tiga buku dari bahasa yang semuanya berbeda jika urutan bahasa menjadi tidak penting.
      
   2. Tentukan banyak kemungkinan dalam mengambil tiga buku dari bahasa yang sama jika urutan bahasa menjadi tidak penting.
      
   3. Tentukan banyak kemungkinan dalam mengambil tiga buku yang terdiri dari dua bahasa jika urutan bahasa menjadi tidak penting.
      
2. Berapa banyak kemungkinan susunan pengurus OSIS yang terdiri dari ketua, sekretaris dan bendahara dapat dibentuk, jika ada 50 calon pengurus OSIS.
   
3. Diketahui 12 bendera yang terdiri dari bendera Indonesia, bendera Amerika dan bendara Jepang. Bendera yang berasal dari Negara yang sama tidak dapat dibedakan. Jika diambil 12 bendera tentukan banyak urutan yang dapat muncul dari pengambilan bendera jika :
   
   1. bendera Indonesia ada 5, bendera Amerika ada 4 dan bendera Jepang ada 3.
      
   2. bendera Indonesia ada 3, bendera Amerika ada 3 dan bendera Jepang ada 6.
      
4. Di Republik BBM, DPR terdiri dari 2 Partai yaitu Partai Bulan dan Partai Matahari. Salah satu anggota komite terdiri 7 orang Partai Bulan dan 5 orang Partai Matahari. Akan dibuat satu delegasi yang diambil dari komite. Tentukan banyak cara menyusun
   
   1. delegasi yang terdiri dari 4 orang.
      
   2. delegasi terdiri dari 4 orang dengan satu orang dari partai Bulan.
      
   3. delegasi terdiri dari 5 orang, dengan ketua dari partai Bulan dan anggota seimbang antara kedua partai.
      
5. Berapa jumlah 3 tempat pariwisata yang dapat dipilih dari 9 tempat yang ditawarkan.
   
6. Tentukan banyaknya pembagi (factor) dari bilangan 10.000
   
7. Sebuah bola diambil sebuah mangkuk yang berisi 4 bola merah dan sebuah kaleng yang berisi 6 bola putih yang masing-masing bernomor, maka berapa banyak hasil yang mungkin?
   
8. Sebuah program komputer memiliki valid input berupa string huruf saja atau string angka saja dengan panjang 4. Berapa banyak valid input program tersebut yang mungkin?.
   
9. Sebanyak 6 orang akan membeli tiket tanda masuk sebuah pertunjukkan secara bersa-maan. Jika hanya tersedia sebuah loket pembelian tiket, maka berapa konfigurasi antrian yang mungkin dapat terjadi.
   
10. Tentukan ada berapa cara untuk menyusun berjajar huruf-huruf yang terdapat dalam sebuah kata "MEMILIKI"!
    
11. Ada berapa cara untuk memilih seorang pemenang pertama, seorang pemenang kedua dan seorang pemenang ketiga dari sebuah kontes yang diikuti oleh 100 kontestan?
    
12. Sebuah kata kunci (password) terdiri atas 6 huruf kecil. Tentukan ada berapa kata kunci berbeda yang mungkin?.
    
13. Sebuah tim bola volley inti diseleksi dari sebanyak 10 kandidat anggota. Berapakah banyaknya konfigurasi tim inti yang mungkin?.
    
14. Empat tim bulu tangkis ganda disusun dari sejumlah 8 pemain. Tentukan banyaknya konfigurasi yang mungkin, jika setiap pemain hanya bermain pada satu tim?
    
15. Sebanyak 50 orang turis manca negara ingin mengunjungi sebuah pulau dengan menggunakan jalur udara. Jika hanya tersedia sebuah pesawat dengan kapasitas 10 penumpang yang menuju pulau tersebut, ada berapa formasi penerbangan para turis tersebut?.
    
16. Ada berapa banyak plat ijin berbeda dapat dibuat, jika setiap pelat memuat sebuah barisan 2 huruf diikuti dengan 4 angka dan diikuti dengan 2 huruf?.
    
17. Tentukan banyaknya solusi berupa bilangan bulat tak negatip berbeda yang mungkin untuk persamaan: ?.
    
18. Tentukan banyaknya solusi berupa bilangan bulat tak negatip berbeda yang mungkin untuk persamaan: ?.