Aproksimasi: Kesalahan

Kesalahan

Seseorang sedang melakukan pengukuran terhadap panjang suatu ruas jalan tol dan panjang kertas A4. Hasil pengukurannya untuk jalan tol didapat 9.950 m dan hasil pengukuran untuk panjang kertas adalah 29 cm. Padahal panjang sebenarnya untuk jalan tol adalah 10.000 m dan panjang sebenarnya untuk kertas A4 adalah 29,7 cm. Disini terjadi kesalahan pengukuran untuk jalan tol sebesar 50 m atau 5.000 cm. Dan kesalahan pengukuran untuk panjang kertas A4 adalah 0,7 cm. Pengukuran yang manakah yang lebih teliti?.

Definisi 1:

Kesalahan (error) didefinisikan sebagai selisih antara nilai sebenarnya dan nilai hasil pengukuran, atau

Secara simbolik dinyatakan dengan:

Dengan e_t merupakan kesalahan pengukuran, x_s adalah nilai sebenarnya (true value) dan x_a adalah nilai pengukuran atau nilai pendekatan (aproksimasi).

Dengan definisi pada persamaan , kesalahan dapat bernilai positif dan dapat pula bernilai negatif. Kesalahan akan bernilai negatif apabila nilai pengukuran lebih besar dari nilai sebenarnya.

Untuk memperjelas pengertian dan pemahaman terhadap definisi di atas, lihat contoh berikut ini.

Contoh 1:

Pada kasus pengukuran jalan tol dan panjang kertas A4 di atas, kesalahan dapat ditabelkan seperti berikut ini.

Pengukuran	Panjang Sebenarnya xt	Hasil Pengukuran xa	Kesalahan et
Panjang Jalan Tol	10.000 m	9.950 m	5.000 cm
Panjang Kertas A4	29,7 cm	29 cm	0,7 cm

Kesalahan pada pengukuran jalan tol (5.000 cm) jauh lebih besar jika dibandingkan dengan kesalahan pada pengukuran panjang kertas A4 (0,7 cm). Namun demikian kesalahan pengukuran pada jalan tol tersebut lebih bisa diterima, karena kalau dibandingkan dengan nilai sebenarnya kesalahan tersebut hanya sebesar 10.000 m dibagi 50 m atau sebesar 0,005. Sedangkan kesalahan pengukuran panjang kertas A4 dibandingkan dengan nilai sebenarnya adalah 29,7 cm dibagi 0,7 cm adalah 0,02357.

Oleh karena itu, dibuat suatu definisi tentang kesalahan relatif dan prosentase kesalahan relatif seperti berikut ini.

Definisi 2:

Kealahan relatif (relatif error) didefinisikan sebagai kesalahan dibagi dengan nilai sebenarnya, atau

Secara simbolik dinyatakan dengan:

Dengan e_r merupakan kesalahan relatif, e_t adalah nilai kesalahan dan x_t adalah nilai sebenarnya.

Definisi 3:

Prosentase kesalahan relatif didefinisikan sebagai kesalahan relatif dikalikan 100%, atau

Dengan pe_r merupakan prosentase kesalahan relatif, e_t adalah nilai kesalahan dan x_t adalah nilai sebenarnya.

Contoh 2:

Pada kasus pengukuran jalan tol dan panjang kertas A4 di atas, kesalahan dapat ditabelkan seperti berikut ini.

Pengukuran	xt	xa	et	er	per
Panjang Jalan Tol	10.000 m	9.950 m	5.000 cm	0,005	0,5%
Panjang Kertas A4	29,7 cm	29 cm	0,7 cm	0,02357	2%

Jadi kesalahan relatif pada pengukuran panjang jalan tol lebih kecil dari kesalahan relatif pada pengukuran panjang kertas A4.

Pada pembahasan kesalahan di atas, nilai sebenarnya telah diketahui. Namun demikian pada sebagian besar permasalahan pengukuran nilai sebenarnya ini belum diketahui. Jika nilai sebenarnya tidak atau belum diketahui, maka rumusan persamaan sampai dengan persamaan tidak dapat digunakan. Untuk itu diperlukan adanya suatu rumusan lain yang dapat dipakai untuk memperkirakan seberapa besar kesalahan dari suatu pengukuran.

Misal seseorang melakukan pengukuran terhadap lebar dari meja, lebar meja yang sebenarnya tidak diketahui. Pada saat melakukan pengukuran terbaca 75 cm. Ini bukan berarti lebar meja yang sebenarnya adalah 75 cm. Hanya pada alat ukur terbaca lebih dekat ke 75 cm dari pada ke 74 cm atau ke 76 cm. Bisa dikatakan bahwa lebar meja tersebut diantara 74.5 cm dan 76.5 cm. Artinya kesalahan pengukuran yang masih dapat diterima adalah 0,5 cm. Secara tidak formal, nilai 76,5 cm dikatakan sebagai batas atas pengukuran (nilai ukuran terbesar), nilai 74,5 cm merupakan batas bawah pengukuran (nilai ukuran terkecil), dan nilai 0,5 cm sebagai kesalahan mutlak pengukuran. Rentang batas atas dan batas bawah ini dinamakan sebagai satuan pengukuran terkecil.

Selanjutnya akan dibahas beberapa definisi kesalahan yang terkait dengan pengukuran terhadap objek yang nilai sebenarnya tidak diketahui.

Definisi 4:

Satuan pengukuran terkecil adalah tingkat ketelitian dalam pengukuran.

Contoh 3:

Dalam pengukuran lebar meja, digunakan satuan pengukuran cm. Hasil pengukuran lebar meja adalah 75 cm. Dalam pengukuran ini mempunyai satuan pengukuran terkecil 1 cm.

Contoh 4:

Dalam pengukuran lebar jalan, digunakan satuan pengukuran m. Hasil pengukuran lebar jalan adalah 7,5 m. Dalam pengukuran ini mempunyai satuan pengukuran terkecil 0,1 m.

Contoh 5:

Dalam pengukuran luas dasar kolam bentuk persegi panjang, digunakan satuan pengukuran m². Hasil pengukuran luas tersebut adalah adalah 45,50 m². Dalam pengukuran ini mempunyai satuan pengukuran terkecil 0,01 m².

Contoh 6:

Dalam pengukuran volume air di dalam tandon bentuk tabung, digunakan satuan pengukuran m³. Hasil pengukuran volume air tersebut adalah adalah 1,5 m³. Dalam pengukuran ini mempunyai satuan pengukuran terkecil 0,1 m³.

Definisi 5:

Salah mutlak dalam suatu pengukuran adalah setengah kali satuan pengukuran terkecil, atau

Secara simbolik dinyatakan dengan:

Dengan SM merupakan salah mutlak, u adalah satuan ukuran terkecil.

Dengan definisi pada persamaan , salah mutlak selalu bernilai positif. Untuk memperjelas pengertian dan pemahaman terhadap definisi di atas, lihat contoh berikut ini.

Contoh 7:

Seseorang melakukan pengukuran lebar sungai. Hasil pengukuran tercatat 3,5 m. Tentukan salah mutlak dari pengukuran tersebut.

Penyelesaian:

Satuan pengukuran terkecil dari hasil pengukuran tersebut adalah u=0,1 m.

Dengan menggunakan definisi , salah mutlak pengukuran adalah

Contoh 8:

Suatu produk air minum kemasan dalam botol, tertulis isi 0,75 liter. Tentukan salah mutlak dari isi kemasan air minum tersebut.

Penyelesaian:

Satuan pengukuran terkecil dari hasil pengukuran tersebut adalah u=0,01 liter.

Dengan menggunakan definisi , salah mutlak pengukuran adalah .

Contoh 9:

Wijaya melakukan pengukuran luas ruangan dan hasil pengukuran tercatat 20,25 m². Alex si tukang keramik mengatakan luas keramik ini adalah 400,00 cm². Tentukan salah mutlak dari pengukuran yang dilakukan Wijaya dan Alex tersebut.

Penyelesaian:

· Hasil pengukuran Wijaya adalah 20,25 m². Dengan menggunakan definisi , salah mutlak pengukuran Wijaya adalah . Atau dalam ukuran cm² menjadi

· Hasil pengukuran Alex adalah 400,00 cm². Dengan menggunakan definisi , salah mutlak pengukuran Alex adalah .

Dengan hanya menggunakan definisi salah mutlak, perbandingan kesalahan dari dua pengukuran sulit untuk dibandingkan. Oleh karena itu, dibuat suatu definisi kesalahan yang merujuk pada nilai pengukurannya. Selanjutnya akan didefinisikan salah relatif dan prosentase salah relatif.

Definisi 6:

Salah relatif didefinisikan sebagai salah mutlak dibagi dengan nilai pengukuran, atau

Secara simbolik dinyatakan dengan:

Dengan SR merupakan salah relatif, SM adalah salah mutlak nilai dan x_a adalah nilai pengukuran.

Definisi 7:

Prosentase salah relatif didefinisikan sebagai salah relatif dikalikan 100%, atau

Dengan pe_r merupakan prosentase salah relatif, e_t adalah salah mutlak nilai dan x_t adalah nilai sebenarnya.

Contoh 10:

Seseorang melakukan pengukuran lebar sungai pada contoh 7. Hasil pengukuran tercatat 3,5 m. Tentukan salah relatif dan prosentase salah relatif dari pengukuran tersebut.

Penyelesaian:

Dari contoh 7, didapat salah mutlak .

· Salah Relatif

Dengan menggunakan persamaan , didapat salah relatif sebagai berikut

· Prosentase Salah Relatif

Dengan menggunakan persamaan , didapat prosentase salah relatif sebagai berikut

Contoh 11:

Kembali ke contoh 10, Wijaya melakukan pengukuran luas ruangan dan hasil pengukuran tercatat 20,25 m². Alex si tukang keramik mengatakan luas keramik ini adalah 400,00 cm². Tentukan salah relatif dan prosentase salah relatif dari pengukuran yang dilakukan Wijaya dan Alex tersebut. Dari hasil perhitungan kesalahan tersebut, manakah yang lebih teliti ?, Wijaya atau Alex?.

Penyelesaian:

· Hasil pengukuran Wijaya adalah 20,25 m². Dengan menggunakan definisi , , dan , didapat:

o Salah mutlak

o Salah relatif

o Prosentase salah relatif

· Hasil pengukuran Alex adalah 400,00 cm². Dengan menggunakan definisi , , dan , didapat:

o Salah mutlak

o Salah relatif

o Prosentase salah relatif

Perbandingan kesalahan dari dua pengukuran Wijaya dan Alex, secara prosentase kesalahan relatifnya, pengukuran Alex mempunyai kesalahan yang jauh lebih kecil dibandingkan dengan yang dilakukan oleh wijaya.

Definisi 8:

Ukuran terbesar dari suatu pengukuran adalah nilai hasil pengukuran ditambah dengan salah mutlak dari pengukuran.

Atau

Dengan x_a adalah nilai hasil pengukuran dan SM adalah salah mutlak dari pengukuran.

Definisi 9:

Ukuran terkecil dari suatu pengukuran adalah nilai hasil pengukuran dikurangi dengan salah mutlak dari pengukuran.

Atau

Dengan x_a adalah nilai hasil pengukuran dan SM adalah salah mutlak dari pengukuran.

Contoh 12:

Panjang dari lapangan sepak bola adalah 100 m. Tentukan ukuran terbesar dan ukuran terkecil dari pengukuran tersebut.

Penyelesaian:

· Satuan pengukuran terkecil dari pengukuran adalah u = 1 m.

· Salah mutlak dari pengukuran isi air adalah

· Ukuran terbesar pengukuran adalah

· Ukuran terkecil pengukuran adalah

Contoh 13:

Misal nilai hasil pengukuran isi air dalam botol adalah 1,5 liter. Tentukan ukuran terbesar dan ukuran terkecil dari pengukuran tersebut.

Penyelesaian:

· Satuan pengukuran terkecil dari pengukuran adalah u = 0,1 liter.

· Salah mutlak dari pengukuran isi air adalah

· Ukuran terbesar pengukuran adalah

· Ukuran terkecil pengukuran adalah

Definisi 10:

Toleransi kesalahan pengukuran adalah selisih antara ukuran terbesar dengan

ukuran terkecil dari pengukuran.

Atau

Teorema 1:

Tolerasi kesalahan sama dengan dua kali salah mutlak.

Bukti:

Berdasarkan Definisi 8, Definisi 9, dan Definisi10 dapat diturunkan :

Jadi toleransi kesalahan dapat dicari dengan mengalikan salah mutlak dengan 2.

Contoh 14:

Misal nilai hasil pengukuran isi air dalam botol adalah 1,5 liter. Tentukan toleransi kesalahan pengukuran tersebut.

Penyelesaian:

Dari contoh 13 didapat:

· Salah mutlak dari pengukuran isi air adalah

· Ukuran terbesar pengukuran adalah

· Ukuran terkecil pengukuran adalah

Dengan menggunakan persamaan , didapat nilai toleransi kesalahan:

Atau dengan menggunakan persamaan , didapat nilai toleransi kesalahan:

Toleransi kesalahan = 2 SM = 2 (0,05 liter)= 0,1 liter.

Teorema 2:

Jika x_a menyatakan nilai hasil pengukuran, maka ukuran terbesar dari pengukuran tersebut sama dengan nilai hasil pengukuran ditambah setengah kali toleransi kesalahan.

Bukti:

Berdasarkan persamaan dan didapat :

Teorema 3:

Jika x_a menyatakan nilai hasil pengukuran, maka ukuran terkecil dari pengukuran tersebut sama dengan nilai hasil pengukuran dikurangi dua kali toleransi kesalahan.

Bukti:

Berdasarkan persamaan dan didapat :

Dalam pernyataan ukuran sebagai ukuran standarisasi, penulisan ukuran standar tersebut biasa dinyatakan dalam bentuk:

Contoh 15:

Pada suatu pengukuran, didapat ukuran terbesar yang dapat diterima 12,4 mm dan ukuran terkecil yang dapat diterima adalah 11,8 mm. Tentukan toleransi kesalahan pengukuran.

Penyelesaian:

Toleransi kesalahan = Ukuran terbesar – ukuran terkecil

= 12,4 mm – 11,8 mm

= 0,6 mm

Contoh 16:

Ukuran standar baut diameter 10 mm mempunyai tolerasi kesalahan 0,2 mm. Ukuran standar diameter baut tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk (10 + 0,1) mm. Jika ada suatu perusahaan yang akan memproduksi baut yang memenuhi ukuran standar tersebut, maka berapakah ukuran terbesar dan ukuran terkecil yang diperbolehkan agar memenuhi standar tersebut?

Penyelesaian:

· Ukuran terbesar diameter baut yang diperbolehkan adalah:

· Ukuran terkecil diameter baut yang diperbolehkan adalah:

Latihan

1. Suatu produk kertas ukuran F4, tertulis berat dari kertas adalah 80 gsm. Setelah dilakukan penimbangan didapat hasil 79,75 gsm. Tentukan kesalahan, kesalahan relatif, dan prosentase kesalahan relatif dari berat kertas tersebut.

2. Diketahui bahwa lebar dari kertas A4 adalah 21 cm dan panjangnya adalah 29,7 cm. Atau diketahui ukuran kertas A4 adalah 21 x 29,7 cm. Andi mengambil selembar kertas A4 dari sebuah produk dan melakukan pengukuran lebar kertas tersebut adalah 20,8 cm dan pengukuran panjangnya didapat 29,5 cm. Tentukan kesalahan, kesalahan relatif, dan prosentase kesalahan relatif dari

a. Ukuran lebar dari kertas A4 yang diukur oleh Andi tersebut.

b. Ukuran panjang dari kertas A4 yang diukur oleh Andi tersebut.

c. Ukuran luas dari kertas A4 yang diukur oleh Andi tersebut.

3. Seperti pada contoh nomor 2, cobalah anda lakukan pengukuran sendiri dan kemudian tentukan kesalahan, kesahan relatif, dan prosentase kesalahan relatif dari hasil pengukuran anda.

4. Sebuah produk rokok menginginkan produknya mempunyai kandungan 14 MG Tar dan 1,0 MG Nicotine. Nilai kandungan ini dituliskan pada bungkus rokok. Bagian uji kualitas dari perusahan tersebut mengambil sebuah sample produk dan melakukan pengujian kandungan Tar dan Nicotine. Hasil pengujian didapat 14,5 MG Tar dan 1,45 MG Nicotine. Berapakah nilai kesalahan, kesalahan relatif, dan prosentase kesalahan relatif dari produk tersebut.

5. Sebuah produk minuman ringan dalam kaleng mencantukan isi bersih dari minumannya adalah 330 ml. Balai Pengawas Obat dan Makanan (POM) melakukan pengujian, mengambil sebuah produk dan menuangkan dalam sebuah gelas ukur. Hasil pengukuran isi dari minuman kaleng tersebut adalah 315 ml. Tentukan kesalahan, kesalahan relatif, dan prosentase kesalahan relatif dari ukuran isi tersebut.

6. Seorang pramuniaga dari mini market, menimbang anggur yang dipilih oleh seorang pembeli. Hasil dari penimbangan tersebut adalah 0,75 Kg. Tentukan satuan ukuran terkecil, salah mutlak, salah relatif, prosentase salah relatif dari hasil penimbangan yang dilakukan oleh pramuniaga tersebut.

7. Dalam laga formula satu (F1), Michael Schummacer memasuki pitch. Timnya melakukan penggantian roda dengan catatan waktu 6,9 detik. Tentukan satuan ukuran terkecil, salah mutlak, salah relatif, prosentase salah relatif dari waktu pencatatan penggantian roda oleh Tim tersebut.

8. Besaran bilangan – bilangan berikut ini didapatkan dari hasil pengukuran.

a. 176 Ha

b. 19,5 gallon

c. 6,95 detik

d. 5,751 ton

e. 10.000 m³/hari

Tentukan satuan ukuran terkecil, salah mutlak, salah relatif, prosentase salah relatif dari pengukuran di atas.

9. Besaran bilangan – bilangan berikut ini didapatkan dari hasil pengukuran.

a. 176 Ha

b. 19,5 gallon

c. 6,95 detik

d. 5,751 ton

e. 10.000 m³/hari

Tentukan ukuran terbesar dan ukuran terkecil dari pengukuran di atas.

10. Berikut ini merupakan pernyatan standar pengukuran. Tentukan nilai pengukuran terbesar dan nilai pengukuran terkecil yang dapat diterima, dan tentukan juga toleransi kesalahannya.

a. (6,22 + 0,12) cm.

b. (4,1 + 0,5) detik.

c. (50,0 + 0,1) gr.

d. (100,536 + 0,123) mm.

e. (2,5 + 0,01) ton.